Potência de expoente natural: Introdução.


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Determinação de potência:
Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:

Exemplos:


1º exemplo: 
Termos da potenciação:

Base=2
Expoente = 4
Potência = 16 [Resultado da operação]
Lê-se: Dois elevado à quarta potência.

2º exemplo: 

53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)

Termos da potenciação:

Base=5
Expoente = 3
Potência = 125 [Resultado da operação]
Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.

3º exemplo: 
35 = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)

Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 35, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:

3 elevado à 5a potência, ou a 5a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=35


Termos da potenciação:

Base=3
Expoente = 5
Potência = 243 [Resultado da operação]

Explicando algumas propriedades.

A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.

Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:

1º ) Produto de potências de mesma base.

Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 115 .


Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1n=1

(3.3.3).(3.3).(3.3)=33. 32. 32 =33+2+2=37=2187
(3.3.3)=33
(3.3)= 32
(3.3)= 32
Note que 37= (3.3.3.3.3.3.3) =2187
Três elevado à sétima potência.

Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes

2º ) Potência de potência.

(22)3 = 22 . 22 . 22 = 22+2+2= 26 = 64
(22)4 = 22 . 22 . 22 . 22 = 22+2+2+2= 28 = 256

Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

3º ) Quociente de potências de mesma base.

         Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma:

128
÷126 = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

128
÷ 126 = 128 – 6 = 122 = 144

(-5)6
÷ (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625

Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão

NÚMEROS NATURAIS:

DEFINIÇÕES:

Sejam  a Î R positivo e n Î N
Também podemos definir da seguinte forma:
Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an  que é igual ao produto de n fatores iguais ao número a.

D1 )  an  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1, onde:  an = a.an-1
Da definição anterior decorre que:

D2 )  a1 = a   , (a ≠ 0)

 Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo, pois não existe produto apenas com um único fator.

D3 )  a0 = 1   , (a ≠ 0)

Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.

PotÊncias especiais:

1n = 1  e  0n =0 para qualquer que seja o valor de n , pois
an  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  1.1.1. ... .1 = 1 e
an  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  0.0.0. ... .0 = 0.

Propriedades relativas às potências de mesma base:


Considerando que a base é um número real “a” positivo e o expoente é um número natural “n”, temos que:

Sejam m,n Î N*  e a,b Î R* positivo então:
N1 )  an .am = an+m    . Intuitivamente é fácil observar que:


Chamamos esta propriedade de “Propriedade fundamental”: Multiplicação de potências de mesma  base.
N2 )  an ÷ am = an-m   ( a ≠ 0 , n m )         

N4 ) ( a.b )n = an .bn




         

         As propriedades das potências de números naturais também podem ser estendidas para o conjunto dos números inteiros. Veja os exemplos:

EXEMPLOS PRÁTICOS:

a)             30 = 1

b)             50 = 1

c)             20 = 1

d)            560 = 1

e)            51 = 5

f)             31 = 3

g)            52 = 5.5 = 25

h)            53 = 5.5.5 = 125

i)             54 = 5.5.5.5 = 625

j)             55 = 5.5.5.5.5= 3125

k)            32 = 9

l)             190 = 1

m)          191 = 19

n)           192 = 361

o)           01 = 0

p)           02 = 0.0 = 0

         q)           03 = 0.0.0= 0

         r)         
   04 = 0.0.0.0 = 0

         s)          
05 = 0.0.0.0.0 = 0

         t)           
1511 = 151

         u)          
17 = 1.1.1.1.1.1.1=1

         v)           

         w)           
32 . 33 = 9.27=243

x)           32 . 33 = (3.3) .(3.3.3) = 35 = 32+3  = 243
y)          

          z)           (22)3=(2.2)3=43=64


Potência com expoente inteiro.


exemplo de sequências de potências:

Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a multiplicação de padrões:

Note que ao dividirmos 81 por 3 temos como resultado 27, e da mesma forma ao dividirmos 27 por 3 obtemos como resultado 9, logo concluímos que, a cada divisão os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante e igual a 3.

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Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.

4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

PRÓXIMO TÓPICO: Potência com expoente inteiro

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 
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 BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.


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17 Comentários

Ro Xo disse...

Adorei o post!!! Super fácil de entender!!! Vou ficar no aguardo das outras aulas, pois qdo o expoente é decimal, sempre bate uma confusão, e não consigo resolver!!!! rs E realmente o cálculo de potências é fundamental para economizar o tempo, já pensou se não tivesse sido descoberto esse cálculo, ficaríamos horas a fio fazendo contas imensas, sendo que com algo tão simples podemos chegar ao resultado.

Bjs e ótimo blog!!!

caco disse...

Beleza Ro! É isso aí, já pensou se não existisse a matemática, os cálculos, as ciências exatas? Estaríamos ferrados! Esta semana ainda já postarei os artigos sobre potências com números decimais, notação científica e mais algumas curiosidades. Um grande abraço!

Huni disse...

Olá! Vc disse que se alguém tivesse a dica de algum blog ou site legal pra dar um toque aqui; pois o canal quentíssimo sobre números primos é:
http://athangene.blogspot.com
O autor do livro Número-Primo -- Arte & Natureza abre chance pra gente criar sequências-primas (fiquei sabendo que o Exército Americano paga 10mil dólares por coisas assim). O autor é uma figuraça super-bacana, e o estilo do cara de instruir, nunca vi igual.
Na boa, é dez!

caco disse...

Legal Huni! Gostei da dica. o blog realmente trata de um tema interessante. Um abraço!

Beatriz disse...

Ameei e realmente e muito boom e explica mutio beem...Valeeu

caco36 disse...

 Obrigado pelo elogio Beatriz. É bom saber  que o blog está sendo bem aceito tanto pelos professores quanto pelos estudantes. Abraços e volte sempre que precisar.

thiago xP disse...

U.U ajudou mt to na 5 serie eu ia estudar no caderno so que faltei no dia '-' vlw ,, Pf poste sobre raiz quadrada  to precisand mt  abraços '0'

caco36 disse...

 Legal Thiago, vamos providenciar material tratando das raizes quadradas.

lulu disse...

me ajudou muito obrigada

elon disse...

poor favoor postte raiz quadradaa esttou precisando ,, ee muitas pessoas estao precisando ,,, brigadaao ,, ajudou muittoo ,, mas ia ser melhor si tivesse raiz quadrada

lola disse...

esse blog é muito legal eu to na 5Serie isso me ajudou muito esse blog é nota 10 eu estva precizando de um blog assim

lola disse...

EU ACHEI A SUA RESPOTA LEGAL LOLA

josecleia disse...

kkkk respondendo pra si mesma

maria eduarda disse...

amanha vai ter prova me ajudou bastante vou estudar isso pq

maria eduarda disse...

kkkkkkkk ta respondendo pra vc msm kkkkk

maria eduarda disse...

tb to na 5 seriee nossa acheei q nao era tao dificil assim

Hingridy disse...

não entende muiito mais ainda quero ajuda Minha prova é Amanha ...

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