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Potência de expoente natural: Introdução.

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.


Determinação de potência:
Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:

Exemplos:


1º exemplo: 
Termos da potenciação:

Base=2
Expoente = 4
Potência = 16 [Resultado da operação]
Lê-se: Dois elevado à quarta potência.

2º exemplo: 

53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)

Termos da potenciação:

Base=5
Expoente = 3
Potência = 125 [Resultado da operação]
Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.

3º exemplo: 
35 = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)

Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 35, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:

3 elevado à 5a potência, ou a 5a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=35


Termos da potenciação:

Base=3
Expoente = 5
Potência = 243 [Resultado da operação]

Explicando algumas propriedades.

A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.

Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:

1º ) Produto de potências de mesma base.

Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 115 .


Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1n=1

(3.3.3).(3.3).(3.3)=33. 32. 32 =33+2+2=37=2187
(3.3.3)=33
(3.3)= 32
(3.3)= 32
Note que 37= (3.3.3.3.3.3.3) =2187
Três elevado à sétima potência.

Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes

2º ) Potência de potência.

(22)3 = 22 . 22 . 22 = 22+2+2= 26 = 64
(22)4 = 22 . 22 . 22 . 22 = 22+2+2+2= 28 = 256

Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

3º ) Quociente de potências de mesma base.

         Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma:

128
÷126 = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

128
÷ 126 = 128 – 6 = 122 = 144

(-5)6
÷ (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625

Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão

NÚMEROS NATURAIS:

DEFINIÇÕES:

Sejam  a Î R positivo e n Î N
Também podemos definir da seguinte forma:
Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an  que é igual ao produto de n fatores iguais ao número a.

D1 )  an  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1, onde:  an = a.an-1
Da definição anterior decorre que:

D2 )  a1 = a   , (a ≠ 0)

 Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo, pois não existe produto apenas com um único fator.

D3 )  a0 = 1   , (a ≠ 0)

Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.

PotÊncias especiais:

1n = 1  e  0n =0 para qualquer que seja o valor de n , pois
an  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  1.1.1. ... .1 = 1 e
an  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  0.0.0. ... .0 = 0.

Propriedades relativas às potências de mesma base:


Considerando que a base é um número real “a” positivo e o expoente é um número natural “n”, temos que:

Sejam m,n Î N*  e a,b Î R* positivo então:
N1 )  an .am = an+m    . Intuitivamente é fácil observar que:


Chamamos esta propriedade de “Propriedade fundamental”: Multiplicação de potências de mesma  base.
N2 )  an ÷ am = an-m   ( a ≠ 0 , n m )         

N4 ) ( a.b )n = an .bn




         

         As propriedades das potências de números naturais também podem ser estendidas para o conjunto dos números inteiros. Veja os exemplos:

EXEMPLOS PRÁTICOS:

a)             30 = 1

b)             50 = 1

c)             20 = 1

d)            560 = 1

e)            51 = 5

f)             31 = 3

g)            52 = 5.5 = 25

h)            53 = 5.5.5 = 125

i)             54 = 5.5.5.5 = 625

j)             55 = 5.5.5.5.5= 3125

k)            32 = 9

l)             190 = 1

m)          191 = 19

n)           192 = 361

o)           01 = 0

p)           02 = 0.0 = 0

         q)           03 = 0.0.0= 0

         r)         
   04 = 0.0.0.0 = 0

         s)          
05 = 0.0.0.0.0 = 0

         t)           
1511 = 151

         u)          
17 = 1.1.1.1.1.1.1=1

         v)           

         w)           
32 . 33 = 9.27=243

x)           32 . 33 = (3.3) .(3.3.3) = 35 = 32+3  = 243
y)          

          z)           (22)3=(2.2)3=43=64


Potência com expoente inteiro.


exemplo de sequências de potências:

Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a multiplicação de padrões:

Note que ao dividirmos 81 por 3 temos como resultado 27, e da mesma forma ao dividirmos 27 por 3 obtemos como resultado 9, logo concluímos que, a cada divisão os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante e igual a 3.

IR PARA O CONTEÚDO  POTENCIAÇÃO

Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.

4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

PRÓXIMO TÓPICO: Potência com expoente inteiro

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 
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 BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.

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Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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17 Comentários:

  1. Adorei o post!!! Super fácil de entender!!! Vou ficar no aguardo das outras aulas, pois qdo o expoente é decimal, sempre bate uma confusão, e não consigo resolver!!!! rs E realmente o cálculo de potências é fundamental para economizar o tempo, já pensou se não tivesse sido descoberto esse cálculo, ficaríamos horas a fio fazendo contas imensas, sendo que com algo tão simples podemos chegar ao resultado.

    Bjs e ótimo blog!!!

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  2. Beleza Ro! É isso aí, já pensou se não existisse a matemática, os cálculos, as ciências exatas? Estaríamos ferrados! Esta semana ainda já postarei os artigos sobre potências com números decimais, notação científica e mais algumas curiosidades. Um grande abraço!

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  3. Olá! Vc disse que se alguém tivesse a dica de algum blog ou site legal pra dar um toque aqui; pois o canal quentíssimo sobre números primos é:
    http://athangene.blogspot.com
    O autor do livro Número-Primo -- Arte & Natureza abre chance pra gente criar sequências-primas (fiquei sabendo que o Exército Americano paga 10mil dólares por coisas assim). O autor é uma figuraça super-bacana, e o estilo do cara de instruir, nunca vi igual.
    Na boa, é dez!

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  4. Legal Huni! Gostei da dica. o blog realmente trata de um tema interessante. Um abraço!

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  5. Ameei e realmente e muito boom e explica mutio beem...Valeeu

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  6.  Obrigado pelo elogio Beatriz. É bom saber  que o blog está sendo bem aceito tanto pelos professores quanto pelos estudantes. Abraços e volte sempre que precisar.

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  7. U.U ajudou mt to na 5 serie eu ia estudar no caderno so que faltei no dia '-' vlw ,, Pf poste sobre raiz quadrada  to precisand mt  abraços '0'

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  8.  Legal Thiago, vamos providenciar material tratando das raizes quadradas.

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  9. poor favoor postte raiz quadradaa esttou precisando ,, ee muitas pessoas estao precisando ,,, brigadaao ,, ajudou muittoo ,, mas ia ser melhor si tivesse raiz quadrada

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  10. esse blog é muito legal eu to na 5Serie isso me ajudou muito esse blog é nota 10 eu estva precizando de um blog assim

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  11. EU ACHEI A SUA RESPOTA LEGAL LOLA

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  12. kkkk respondendo pra si mesma

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  13. amanha vai ter prova me ajudou bastante vou estudar isso pq

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  14. kkkkkkkk ta respondendo pra vc msm kkkkk

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  15. tb to na 5 seriee nossa acheei q nao era tao dificil assim

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  16. não entende muiito mais ainda quero ajuda Minha prova é Amanha ...

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