Potência de expoente inteiro: Introdução.


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POTÊNCIA COM EXPOENTE DE NÚMEROS INTEIROS


quadro negro do teaser potenciação


Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por:
N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... } .  Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde poderemos atribuir um significado para à potência an  , onde a Î R+, e n Î Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois:
 Z = { ..., -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  ...}.
De modo que a propriedade fundamental  da potenciação am . an  = am+n deve ser mantida

Vejamos a seguinte igualdade:
a0 . a1  = a0+1 =a , logo temos que a0 =1 , e (a ≠ 0).

Uma forma prática de entender porque a0 = 1 .
Observe a tabela:
24   implica em  2.2.2.2 = 16
23   implica em     2.2.2 =   8
22   implica em        2.2 =   4
21   implica em           2 =   2
20   implica em              =   1  

( Veja potências especiais no tópico I)

Desta forma, dado qualquer n   Î  N*  , devemos ter, para a ≠ 0:a-n . a n = a-n + n =a0 = 1 , portanto  a-n . a n =1, ou seja:  definição fórmula do número inverso
Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a, e expoente  -n o número a-n , que é o inverso de an , ou seja:  definição fórmula do número inverso de potência

Vejamos alguns exemplos números inversos:

exercícios de potências de números fracionários

Observação:   
(-a )impar   = negativo.
(-a )par       = positivo.  
Potência de base NEGATIVA, e expoente IMPAR, o resultado é NEGATIVO.
Potência de base NEGATIVA, e expoente PAR, o resultado é POSITIVO.
(  a )par       = positivo.
(  a )impar   = positivo. 
Potência de base POSITIVA, e expoente PAR o resultado é sempre POSITIVO.

Se liga! Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses.

a)  (-2)4 = 16   , onde a base é (-2)

Compare os seguintes exemplos:

a)  (-2)4 = (-2) . (-2) .(-2) .(-2)  = 16   que é diferente de:
b)  -24 = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   que é igual à
c)  -(2)4 = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   onde a base é (2)

Logo, se a base não apresentar parênteses, o sinal de negativo será aplicado somente após obtermos o resultado da potenciação. O mesmo fato acontece, se a base esta dentro de parênteses, mas existe um sinal negativo antes dela, como nos exemplos a) e b) acima.

Observação: Apartir da validade da definição para potência de expoente inteiro negativo, todas as propriedades válidas para números naturais, também são válidas para quaisquer expoentes m e n inteiros positivos ou negativos.
                                       
  Inverso do número a  ≠ 0 . 

exemplos dos inversos das potências de números fracionários


Exercícios resolvidos e explicados:

  1. Calcule as potências com expoentes em R.
a) 34     = 3.3.3.3 = 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3        O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois  4.4.4.4 = 81 = 34

b)  -34     = - ( 3.3.3.3 ) = - 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3     O expoente n= 4     Temos 4 fatores, pois n=4 .

O sinal negativo é carregado depois dos cálculos.

Resultado = - 81 ,pois –( 3.3.3.3) = - 81 = - 34

c)   (-3)4     = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81 

Observe os elementos dados:
A base a= -3      O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois (-3).(-3).(-3).(-3)  = 81 = (-3)
exemplo de potência de expoentes negativos

Agora é a sua vez!


Exercícios propostos: Calcular o valor das potências.

 1       -     a ) (+2)           b) 2          c)  -2        d)  -(2)             e ) –(-2) 

 2       -     a ) (+3)           b) 3          c)  -3        d)  -(3)             e ) –(-3)

 3       -     a ) (+4)           b) 4          c)  -42         d)  -(4)             e ) –(-4)

 4       -     a ) (+2)           b) 2          c)  -2         d)  -(2)            e ) –(-2)

 5       -     a ) (+3)           b) 3          c)  -3         d)  -(3)            e ) –(-3)

 6       -     a ) (+4)           b) 4          c)  -4         d)  -(4)            e ) –(-4)

 7       -     a ) (+a)           b) a          c)  -a         d)  -(a)            e ) –(-a)

 8       -     a ) (+2)-2           b) 2-2          c)  -2-2         d)  -(2) -2          e ) –(-2) -2  

 9       -     a ) (+2)-3           b) 2-3          c)  -2-3         d)  -(2) -3          e ) –(-2) -3  

10      -     a ) (+a)-1           b) a-1           c)  -a-1        d)  -(a) -1          e ) –(-a) -1  


exercícios de potências de números inteiros


Calcule o valor das operações com as potências
 

exercícios de potências de expoentes de números inteiros positivos e negativos



Para conferir seus resultados use a calculadora de potências abaixo. Para frações você pode usar decimais. Ex: 1/2 = 0,5     1/3=0,333...   3/5=0,6. Para usar expoentes negativos o procedimento é normal. 


Cálculadora  de potências de números inteiros.

    Base  :   
    Expoente :   
    Resultado da operação :     



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Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

PRÓXIMO TÓPICO: POTÊNCIAS DE NÚMEROS RACIONAIS,IRRACIONAIS,REAIS. 

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 
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BIBLIOGRAFIA:
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.


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31 Comentários

Manoel_Juraci Melo disse...

Excelente material para estudo parabéns

caco disse...

Obrigado Manoel! Faço o possível para manter a qualidade do conteúdo, sempre buscando as melhores referências. Dá trabalho, mas quando recebemos elogios tudo isso compensa. Um abraço, e volte sempre!

Camila disse...

Nice =D

Aprendi muito revendo esses conteúdos!

Flaviana Miriele da Silva disse...

Sua explicação foi excelente para eu esclarecer minhas dúvidas, obrigada pela sua ajuda.
Abraços, Flaviana.

caco36 disse...

Obrigado pela sua participação aqui no blog Flaviana! Volte sempre que tiver dúvidas ou fazer uma visita. Abraços!

caco36 disse...

 Valeu Nice! Volte sempre que precisar!

Rosenidocarmo disse...

Gostei muito dos exercicios e exemplos

Menininha disse...

gnt eu to precisando muito de ajuda, minha nova professora de matematica não explica ela apenas escreve as coisas no quadro negro, e eu não consigo entender, aqui vai um dos exercicios que ela passou:
 3-¹   
----- =
2-³

caco36 disse...

 Tudo bem Menininha? Posso ajudar no que for possível!  Isto com certeza é uma fração de potências com expoentes negativos. 

Veja que  3-¹ =    1/3¹ = 1/3         e      
  1  
  ----- =  2³    
  2-³
  
Desta forma seu exemplo ficaria assim:             2³ .  1/3      = 8/3    

Espero ter ajudado... Um abraço!          

Neiva disse...

Gostei muito das explicaçãoes otimas aprendi mais que na escola pois o professor explica muito rapido aonde muitas pessoas assim como eu tem muita dificuldades de aprender obrigado!

Fernando disse...

Eu gostei muito desse site.. tomara que vc tenha muito sucesso. kk

luis disse...

eu queria saber como q eu resolvo uma façao com parenteses sem expoente

yuriulrych disse...

As potências de divisão de frações, mantêm a base? e soma as potencias de acordo com a regra dos sinais?

yuriulrych disse...

exemplo o último exercício 5 a,b e c

yuriulrych disse...

Por favor, calcula mmc? ou só subtrai os denominadores?

Ou, só somaria as potencias que daria o resultado, seria mais fácil assim!

caco36 disse...

pode ser YURIULRYCH! so que é uma divisão. logo

(-2/5)^3 / (-2/5)^2 " divisão de bases iguais"

Vou passar o denominador para cima multipplicando.

Note que o expoente fica negativo.

(-2/5)^3 . (-2/5)^-2 " agora ficou uma multiplicação"

LOGO "As potências de divisão de frações, mantêm a base? e soma as potencias de acordo com a regra dos sinais?"

(-2/5)^3 . (-2/5)^-2 => (-2/5) ^ 3+(-2) => (-2/5) ^1

=> -2/5

MULTIPLICAÇÃO DE POTENCIA DE MESMA BASE :

SOMA OS EXPOENTES E CONSERVA A BASE

MULTIPLICAÇÃO DE POTENCIA DE MESMA BASE :

SUBTRAI OS EXPOENTES E CONSERVA A BASE

É claro que eu passei de divisão para multiplicação o exercicio, pois é mais facil somar do que subtrair e já dei uma encrementada na explicação. Ok!

ronaldo disse...

gostei e melhor toque a explicacao que o professor da na escola!

Gabriela Almeida disse...

essa calculadora de potencias de numeros inteiros não funciona muito bem, fui ver se o que eu tinha feito estava certo, então calculei 3,1², 2,5³ (isso retirei do meu livro de mat.) o resultado que ela ela da é NaN, não entendi muito bem o que essas siglas querem dizer, mas espero que alguem me ajude, bjs adorei a explicação :3

Esthefânya Mayerhoof disse...

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Esthefânya Mayerhoof disse...

bye bye!!!

Anônimo disse...

Como que eu faço essa conta aqui--------> (-5)².(-2)^4=(-2)^6

Anônimo disse...

dez elevado a quinta potencia

Anônimo disse...

Parabéns pelo maravilhoso trabalho! É uma riqueza que devemos buscá-la para melhorar sempre nossas atividades ...

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