Follow by Email

Assine nosso Feed , e receba as atualizações do blog


Podes dizer-me, por favor, que caminho devo seguir para sair daqui?
Isso depende muito de para onde queres ir - respondeu o gato.
Preocupa-me pouco aonde ir - disse Alice.
Nesse caso, pouco importa o caminho que sigas - replicou o gato.

Siga o Coelho Branco

Potência de expoente inteiro: Introdução.

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

POTÊNCIA COM EXPOENTE DE NÚMEROS INTEIROS


quadro negro do teaser potenciação


Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por:
N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... } .  Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde poderemos atribuir um significado para à potência an  , onde a Î R+, e n Î Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois:
 Z = { ..., -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  ...}.
De modo que a propriedade fundamental  da potenciação am . an  = am+n deve ser mantida

Vejamos a seguinte igualdade:
a0 . a1  = a0+1 =a , logo temos que a0 =1 , e (a ≠ 0).

Uma forma prática de entender porque a0 = 1 .
Observe a tabela:
24   implica em  2.2.2.2 = 16
23   implica em     2.2.2 =   8
22   implica em        2.2 =   4
21   implica em           2 =   2
20   implica em              =   1  

( Veja potências especiais no tópico I)

Desta forma, dado qualquer n   Î  N*  , devemos ter, para a ≠ 0:a-n . a n = a-n + n =a0 = 1 , portanto  a-n . a n =1, ou seja:  definição fórmula do número inverso
Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a, e expoente  -n o número a-n , que é o inverso de an , ou seja:  definição fórmula do número inverso de potência

Vejamos alguns exemplos números inversos:

exercícios de potências de números fracionários

Observação:   
(-a )impar   = negativo.
(-a )par       = positivo.  
Potência de base NEGATIVA, e expoente IMPAR, o resultado é NEGATIVO.
Potência de base NEGATIVA, e expoente PAR, o resultado é POSITIVO.
(  a )par       = positivo.
(  a )impar   = positivo. 
Potência de base POSITIVA, e expoente PAR o resultado é sempre POSITIVO.

Se liga! Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses.

a)  (-2)4 = 16   , onde a base é (-2)

Compare os seguintes exemplos:

a)  (-2)4 = (-2) . (-2) .(-2) .(-2)  = 16   que é diferente de:
b)  -24 = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   que é igual à
c)  -(2)4 = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   onde a base é (2)

Logo, se a base não apresentar parênteses, o sinal de negativo será aplicado somente após obtermos o resultado da potenciação. O mesmo fato acontece, se a base esta dentro de parênteses, mas existe um sinal negativo antes dela, como nos exemplos a) e b) acima.

Observação: Apartir da validade da definição para potência de expoente inteiro negativo, todas as propriedades válidas para números naturais, também são válidas para quaisquer expoentes m e n inteiros positivos ou negativos.
                                       
  Inverso do número a  ≠ 0 . 

exemplos dos inversos das potências de números fracionários


Exercícios resolvidos e explicados:

  1. Calcule as potências com expoentes em R.
a) 34     = 3.3.3.3 = 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3        O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois  4.4.4.4 = 81 = 34

b)  -34     = - ( 3.3.3.3 ) = - 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3     O expoente n= 4     Temos 4 fatores, pois n=4 .

O sinal negativo é carregado depois dos cálculos.

Resultado = - 81 ,pois –( 3.3.3.3) = - 81 = - 34

c)   (-3)4     = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81 

Observe os elementos dados:
A base a= -3      O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois (-3).(-3).(-3).(-3)  = 81 = (-3)
exemplo de potência de expoentes negativos

Agora é a sua vez!


Exercícios propostos: Calcular o valor das potências.

 1       -     a ) (+2)           b) 2          c)  -2        d)  -(2)             e ) –(-2) 

 2       -     a ) (+3)           b) 3          c)  -3        d)  -(3)             e ) –(-3)

 3       -     a ) (+4)           b) 4          c)  -42         d)  -(4)             e ) –(-4)

 4       -     a ) (+2)           b) 2          c)  -2         d)  -(2)            e ) –(-2)

 5       -     a ) (+3)           b) 3          c)  -3         d)  -(3)            e ) –(-3)

 6       -     a ) (+4)           b) 4          c)  -4         d)  -(4)            e ) –(-4)

 7       -     a ) (+a)           b) a          c)  -a         d)  -(a)            e ) –(-a)

 8       -     a ) (+2)-2           b) 2-2          c)  -2-2         d)  -(2) -2          e ) –(-2) -2  

 9       -     a ) (+2)-3           b) 2-3          c)  -2-3         d)  -(2) -3          e ) –(-2) -3  

10      -     a ) (+a)-1           b) a-1           c)  -a-1        d)  -(a) -1          e ) –(-a) -1  


exercícios de potências de números inteiros


Calcule o valor das operações com as potências
 

exercícios de potências de expoentes de números inteiros positivos e negativos



Para conferir seus resultados use a calculadora de potências abaixo. Para frações você pode usar decimais. Ex: 1/2 = 0,5     1/3=0,333...   3/5=0,6. Para usar expoentes negativos o procedimento é normal. 


Cálculadora  de potências de números inteiros.

    Base  :   
    Expoente :   
    Resultado da operação :     



IR PARA O CONTEÚDO  POTENCIAÇÃO
Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

PRÓXIMO TÓPICO: POTÊNCIAS DE NÚMEROS RACIONAIS,IRRACIONAIS,REAIS. 

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 
Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e  sugestões.

Este artigo está em constante atualização, portanto assine o FEED do blog para receber as atualizações gratuitamente.

BIBLIOGRAFIA:
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.

Share on Google Plus
Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
    Blogger Comment
    Facebook Comment

35 Comentários:

  1. Obrigado Manoel! Faço o possível para manter a qualidade do conteúdo, sempre buscando as melhores referências. Dá trabalho, mas quando recebemos elogios tudo isso compensa. Um abraço, e volte sempre!

    ResponderExcluir
  2. Nice =D

    Aprendi muito revendo esses conteúdos!

    ResponderExcluir
  3. Sua explicação foi excelente para eu esclarecer minhas dúvidas, obrigada pela sua ajuda.
    Abraços, Flaviana.

    ResponderExcluir
  4. Obrigado pela sua participação aqui no blog Flaviana! Volte sempre que tiver dúvidas ou fazer uma visita. Abraços!

    ResponderExcluir
  5.  Valeu Nice! Volte sempre que precisar!

    ResponderExcluir
  6. Gostei muito dos exercicios e exemplos

    ResponderExcluir
  7. gnt eu to precisando muito de ajuda, minha nova professora de matematica não explica ela apenas escreve as coisas no quadro negro, e eu não consigo entender, aqui vai um dos exercicios que ela passou:
     3-¹   
    ----- =
    2-³

    ResponderExcluir
  8.  Tudo bem Menininha? Posso ajudar no que for possível!  Isto com certeza é uma fração de potências com expoentes negativos. 

    Veja que  3-¹ =    1/3¹ = 1/3         e      
      1  
      ----- =  2³    
      2-³
      
    Desta forma seu exemplo ficaria assim:             2³ .  1/3      = 8/3    

    Espero ter ajudado... Um abraço!          

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Ola tudo bem estou no nono ano n entendo nada que o meu prof de algebra diz como esta aqui (-2)elevado a 2 potencia vezes (-2)elevado a 3 potencia

      Excluir
  9. Gostei muito das explicaçãoes otimas aprendi mais que na escola pois o professor explica muito rapido aonde muitas pessoas assim como eu tem muita dificuldades de aprender obrigado!

    ResponderExcluir
  10. Eu gostei muito desse site.. tomara que vc tenha muito sucesso. kk

    ResponderExcluir
  11. eu queria saber como q eu resolvo uma façao com parenteses sem expoente

    ResponderExcluir
  12. As potências de divisão de frações, mantêm a base? e soma as potencias de acordo com a regra dos sinais?

    ResponderExcluir
  13. exemplo o último exercício 5 a,b e c

    ResponderExcluir
  14. Por favor, calcula mmc? ou só subtrai os denominadores?

    Ou, só somaria as potencias que daria o resultado, seria mais fácil assim!

    ResponderExcluir
  15. pode ser YURIULRYCH! so que é uma divisão. logo

    (-2/5)^3 / (-2/5)^2 " divisão de bases iguais"

    Vou passar o denominador para cima multipplicando.

    Note que o expoente fica negativo.

    (-2/5)^3 . (-2/5)^-2 " agora ficou uma multiplicação"

    LOGO "As potências de divisão de frações, mantêm a base? e soma as potencias de acordo com a regra dos sinais?"

    (-2/5)^3 . (-2/5)^-2 => (-2/5) ^ 3+(-2) => (-2/5) ^1

    => -2/5

    MULTIPLICAÇÃO DE POTENCIA DE MESMA BASE :

    SOMA OS EXPOENTES E CONSERVA A BASE

    MULTIPLICAÇÃO DE POTENCIA DE MESMA BASE :

    SUBTRAI OS EXPOENTES E CONSERVA A BASE

    É claro que eu passei de divisão para multiplicação o exercicio, pois é mais facil somar do que subtrair e já dei uma encrementada na explicação. Ok!

    ResponderExcluir
  16. gostei e melhor toque a explicacao que o professor da na escola!

    ResponderExcluir
  17. essa calculadora de potencias de numeros inteiros não funciona muito bem, fui ver se o que eu tinha feito estava certo, então calculei 3,1², 2,5³ (isso retirei do meu livro de mat.) o resultado que ela ela da é NaN, não entendi muito bem o que essas siglas querem dizer, mas espero que alguem me ajude, bjs adorei a explicação :3

    ResponderExcluir
  18. Our this explanation helped me a lot, thanks!

    And this site has a lot of success!

    God bless you!

    ResponderExcluir
  19. I love internet, keep it up and you will grow too!

    ResponderExcluir
  20. I will always come back! you are very smart!

    ResponderExcluir
  21. me too! Our hopefully, you get me, they understand me?

    ResponderExcluir
  22. I will promote your website on my blog, ok?

    ResponderExcluir
  23. ready already divulged.

    ResponderExcluir
  24. Como que eu faço essa conta aqui--------> (-5)².(-2)^4=(-2)^6

    ResponderExcluir
  25. Parabéns pelo maravilhoso trabalho! É uma riqueza que devemos buscá-la para melhorar sempre nossas atividades ...

    ResponderExcluir
  26. (-2) elevado a 2 potencia vezes (-2)elevado a 3 potencial

    ResponderExcluir
  27. Então, pode ser uma pergunta idiota, mas eu tenho muita dificuldade de lembrar, e por conta disso, eu esqueci como se coloca na potência, um exemplo:
    0,0000000016... Como faço pra colocar na potência?

    ResponderExcluir
  28. Excelente conteúdo para estudo, parabéns pelo trabalho.

    ResponderExcluir

Precisa de ajuda? Use o e-mail caco36@ibest.com.br

É necessário Colocar sua dúvida aqui nos comentários também. Assim que for possível ela será resolvida.

Regras básicas para comentar:

- Ao pedir ajuda,não use a opção anônimo.
- Como última alternativa use a opção [ Nome e (ou) Url ].
- Os comentários serão todos moderados.
- Obrigado!

Aceita tomar um chá conosco? Atreva-se!

Postagens Populares