Permutação simples


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INTRODUÇÃO - PERMUTAÇÕES

Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar  a permutação à noção de misturar.

Consultando um dicionário encontramos:

PERMUTAR:
Dar mutuamente, trocar.
PERMUTAÇÃO:

1) Ato ou efeito de permutar, troca, substituição;
2) Transposição dos elementos de um todo para se obter uma nova combinação;
3) Sequência ordenada dos elementos de um conjunto.


Definição:
Dado um conjunto com n elementos, chama-se permutação de n elementos distintos a todo grupo formado pelos n elementos, sendo um grupo distinto de outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos:
Dois dos n elementos em ordem diferentes ( Note que a ordem numa permutação é importante )
Considerando o conjunto E= { a1,a2,a3,...,an} de n elementos distintos. Chamamos de permutação dos n elementos de E qualquer sequência formada pelos n elementos de E.

Por exemplo, se E= {a,b,c}, as sequências (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a), são permutações dos 3 elementos de E.
Agora observe os anagramas que podemos formar com as letras da palavra POR.
POR,PRO,OPR,ORP,ROP,RPO.

Fixando P na 1º posição
Fixando O  na 1º posição
Fixando R  na 1º posição
POR
PRO
ORP
ORP
ROP
RPO



Cada um dos 6 anagramas é uma permutação dos elementos P,O e R.
Observe que não foram usados elementos repetidos.
Caso fossem usados elementos repetidos poderíamos ter PPP,PRR,RRP,RRO, e assim por diante.
Mas como a própria definição nos diz “permutação de n elementos distintos”. Não é permitido repetir os elementos.

Questão: existem quantas permutações num conjunto de n objetos?

Como uma permutação é a coleção ordenada desses n objetos, para a primeira posição da ordem desses elementos temos:
n        possibilidades. Uma vez escolhido o 1º elemento dessa ordem, para a escolha do 2º , temos:
n – 1  possibilidades. Uma vez escolhido o 2º elemento da ordem, para a escolha do segundo, temos n – 2 possibilidades, e, assim por diante. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, o número de permutações de n objetos é igual a:
n.(n - 1).(n -2)...1 = n! .                ou seja P(n)= n!

Note que recaimos na definição de um nº fatorial n!= n(n-1)(n-2)...1.
Adotamos P(n) para representar o número de permutações simples de n elementos, e  n = número total  de elementos.
P= número de lementos que serão tomados para fazer a permutação. Como na permutação P(n)=n!, então P=n.
P(n) = Número de permutações simples dos n elementos tomados p a p, com p=n. 
       
Vejamos quantos agrupamentos é possível formar quando temos n elementos e todos serão usados em cada agrupamento.

1)       Calcule P4.
De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 4 objetos.
P4= 4! = 4.3.2.1=24

2)       Calcule P7.
De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 7 objetos.
P7= 7! = 7.6.5.4.3.2.1=5040

3)       De quantos maneiras diferentes 3 pessoas podem se dispor em fila indiana:
Uma fila nada mais é do que uma sequência de pessoas, ou seja, mudando as posições de duas pessoas na fila ela se altera?
Vamos denotar cada pessoa por uma letra, então seja o conjunto das pessoas denotado por X={ a,b,c}

Fixando "a" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes

a
b
c
a
c
b

Fixando "b" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes

b
a
c
b
c
a

Fixando "c" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes

c
a
b
c
b
a


Ou seja analisando pela definição, temos
3    possibilidades para a 1º posição.
3-1 possibilidades para a 2º posição.
3-2 possibilidades para a 3º posição.
Logo P3 =3!=3.2.1= 6 maneiras diferentes de dispor 3 pessoas em uma fila indiana.    

4)        E se forem impostas certas condições para as possibilidades de permutação entre as pessoas na fila?

Supondo que queremos saber o nº de permutações com a pessoa “a” na 1º posição da fila?

 Observe o exemplo anterior, onde foi fixado “a” na 1º posição.
 Fixando "a" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes


Logo temos:
 1 possibilidade para a 1º posição, pois queremos apenas “a” na 1º posição.
 3-1 possibilidades para a 2º posição, pois não podemos repetir as pessoas.
 3-2  possibilidades para a 3º posição, pois não podemos repetir as pessoas.
Logo temos  1.2!=2 Possibilidades.

5)       E se forem impostas certas condições para as possibilidades de permutação da palavra “PARTO”, quantos anagramas começam com uma consoante e terminam com uma vogal?

Resolução:
Consoantes= (P,R,T)
Vogais = (A,O)
Temos 3 possibilidades para começar com uma consoante (P,R,T) e duas possibilidades para terminar com uma vogal (A,O)

Para cada consoante e cada vogal escolhidas para a 1º e última casas, as 3 letras restantes permutan-se entre si nas casas restantes.
Fixados P na 1º e O na última posição, temos 3 letras restantes para permutar entre si nas 3 casas restantes.


P
A
R
T
O
P
A
T
R
O
P
T
A
R
O
P
T
R
A
O
P
R
T
A
O
P
R
A
T
O
P
O
R
T
A
E assim sucessivamente para todas as possibilidades.


Total: 3 . P3  . 2 = 3 . 3! . 2 = 36 

Mas porque não permutamos as 3 consoantes e as 2 vogais também?
Note que, do mesmo modo que o exemplo da pessoa “a” na 1º posição da fila, se permutarmos as letras, tanto consoantes quanto vogais, teremos repetições, e isto não é permitido.

6)       E se fossem pedidos o número de anagramas em que as consoantes da palavra PARTO aparecem juntas?

a) Na ordem PRT.
 Vamos supor que as consoantes (P,R,T) são uma letra apenas.
PRT
A
O
PRT
A
O
O
PRT
A
A
PRT
O
O
A
PRT
A
O
PRT

3! = 3 . 2 . 1 = 6  

b) Em qualquer ordem.
Agora temos que permutar as consoantes PRT entre si, logo temos 3! 
P
R
T
P
T
R
R
P
T
R
T
P
T
R
P
T
P
R

3! . 3!   Porque?

Observe que para cada permutação das letras PRT na 1º posição, temos que permutar as outras letras restantes entre si. Logo temos  3!.3! = 36

7)       Vamos usar um exemplo do livro Matemática Dante pg 285. para vermos como trabalhar com árvore de possibilidades.
Ex: 1º - Quantos números de 3 algarismos sem repetição, podemos formar com os algarismos 1,2,3?

   


Ex: 2º - Quantos são os anagramas da palavra anel?
Vamos denotar o conjunto das letras da palavra anel por X={a,n,e,l}
Logo temos 4 elementos (letras) no conjunto.

Como não temos nenhuma condição para permutar as letras da palavra “anel”, e como temos 4 letras, então Há:
4 possibilidades para a 1º posição
3 possibilidades para a 2º posição
2 possibilidades para a 3º posição
1 possibilidades para a 4º posição
Então como P4   = 4! = 4.3.2.1=24 anagramas.

Você sabe o que é um anagrama?

Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se outra frase.


Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.
DANTE,P.J. & HERSH, R. A experiência matemática, Rio de Janeiro, Francisco Alves, Ática, 1997.
BEZERRA, Manoel Filho. Matemática para o ensino médio, Volume único, Manoel Jairo Bezerra. São Paulo, Scipione (Série parâmetros). 2004, 5º Edição.

* Com adaptações.


Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

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16 Comentários

Victor disse...

Existe alguma dica para lidar com anagramas com letras repetidas, ovo por exemplo? Como lidar com a "repetição" da letra "O"?

caco disse...

Tudo bem Victor? Claro que existe!Permutações com repetições. E já tratei do assunto aqui no blog. Dê uma olhada neste link.

http://matematica-na-veia.blogspot.com/search/label/An%C3%A1lise%20combinat%C3%B3ria

Olha o conteúdo destas páginas que têm o que você quer. Permutação com repetição e exercícios. Qualquer dúvida é só perguntar aqui.Abraços.

Júlia disse...

Parabéns pelo conteúdo! Tive que faltar uma aula e peguei o caderno com um amigo mas não conseguia entender nada.. haha Esse site me ajudou muito, mesmo sem o caderno eu entenderia! ;) Gostei muito!

caco disse...

Tudo bem Júlia? Antes de mais nada, obrigado pelo reconhecimento.Os comentários dos visitantes é muito importante para o desenvolvimento e crescimento do blog.
Se precisar de algo específico é só pedir.

Blog:Iracena Gonçalves Dias disse...

Muito bom o conteudo.Estou de parabens.
Iracena


iddpoeta@gmail.com

Blog:Iracena Gonçalves Dias disse...

Amei . Parabens. Iracena

caco disse...

Obrigado Iracema! Vai melhorar muito mais nos próximos meses.
Abraços.

Gilvani disse...

Boa noite,

Por favor, como eu resolvo esta questão (o resultado é 120, mas não consegui chegar nisso).

Uma família composta por pai, mãe e três filhos deverá posar para uma fotografia em um sofá de três lugares. O número de fotografias distintas que podem ser tiradas, sabendo-se que os participantes da fotografia devem estar sentados é?

Obrigaduuuu!

Gilvani

caco disse...

Tudo bem Gilvani? Este exercício é de "permutação simples", assim é só fazer 5.4.3.2.1=120 Gil, sempre faça exemplos com valores menores. Fica mais fácil para você interpretar.
Supondo que fosse apenas 3 pessoas Pai,Mae e Filho.

PMF
PFM
MPF
MFP
FPM
FMP

6 possibilidades. Viu como é fácil. Com 4 dá 24 e com 5 dá 120.

Espero ter ajudado você. Um abraço!

Gilvani disse...

Obrigado Caco!

Ajudou muito mesmo, eu estava confundindo-me muito com isso, pois, fazia as permutações em função dos três lugares do sofá, assim: 5x4x3=60, e não entre as pessoas que iriam tirar fotografia.

Abraços

caco disse...

De nada Gilvani! Procure levar em consideração a dica que dei ao responder sua pergunta. A idéia é a mesma para qualquer tipo de problema matemático. Um abraço e volte quando quiser!

maurício disse...

Nossa, preciso de uma ajuda sua. Preciso permutar 5 letras, de um universo de seis. Exemplo, tenho as letras "abcdef" e preciso saber quantos arranjos de 5 letras são possíveis, porém, permitindo-se a repetição, ou seja aaaaa; aaaab; aaaac; aabcd;aabbd; bbbbb; bbbcc etc... se puder ajudar-me eu fico muito grato.

caco disse...

Tudo bem Maurício? Use a fórmula para arranjos com repetição, AR(m,p)=m^p , ou seja 6^5 = 6.6.6.6.6=7776 arranjos.

Veja que,se fossem apenas 3 letras e você fosse fazer agrupamentos de 2 elementos, então teríamos 3^2=3.3=9

se fossem apenas 2 letras e você fosse fazer agrupamentos de 2 elementos, então teríamos 2^2=2.2=4 e assim por diante..

T+............

Anônimo disse...

Parabéns pelo seu blog são poucas as pessoas q tem
vontade de ajudar os outros assim como vocc abracos.

Roberto disse...

Gilvani, é simples basta você ver quantas integrantes há na familia.
Neste caso 3 filhos e o pai e a mãe.
Ao toal são 5 pessoas, então o número de possibilidade é: 5!
5.4.3.2.1=120 maneiras.

João pedro disse...

como faço para resolver - Pn=24

???

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