Biografia de Pitágoras: Vida e obra de um matemático


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Pitágoras


Pitágoras representado por Rafael Sanzio em sua celebrada pintura
Pequena Biografia
Pitágoras (570-500 a.C.) foi um matemático grego, tendo sido também lider religioso, místico, sábio e filósofo. Nasceu em Samos, uma ilha grega na costa marítima do que hoje é a Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quilômetros a sudeste de Samos, aprendeu Matemática com Tales (624-546 a.C.), considerado o fundador da Matemática grega. Segundo antigos historiadores, Pitágoras viajou para o Egito e para a Babilônia, onde é provável que tenha se encontrado com o profeta Daniel. É provável também que Pitágoras tenha estudado na Índia. Sua crença na reencarnação talvez tenha origem indiana. Um de seus contemporâneos é Buda, e é provável que Pitágoras e Buda tenham se encontrado. Em torno de 525 a.C. Pitágoras mudou-se para Crotona, uma cidade ao sul da Itália, onde fundou a Ordem (Escola) Pitagórica. Casou-se com Teano, provavelmente a primeira mulher matemática da história.

A Escola Pitagórica
O termo Escola Pitagórica se refere a uma escola filosófica no sentido histórico cuja existência se prolongou por mil anos desde sua fundação. O modo de vida e as doutrinas atribuídas a Pitágoras, provenientes de sua escola, recebem o nome de pitagorismo. Segundo historiadores, a Escola Pitagórica tinha um caráter peculiarmente duplo. Por um lado, dedicava-se a questões espirituais: os pitagóricos acreditavam na imortalidade da alma e na reencarnação e tinham a auto-reflexão como um dever consciente e imprescindível na espiritualização da vida. Por outro lado, como parte dessa espiritualização, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música, o que lhe imprimiu um caráter também científico, no sentido moderno da palavra. O estudo da Matemática - confundindo-se com a filosofia, pois "tudo é número" - era feito para promover a harmonia da alma com o cosmo. Dentre os princípios filosóficos que norteavam a escola pitagórica, destacam-se: a alma é imortal e reencarna-se; os acontecimentos da história repetem-se em certos ciclos; nada é inteiramente novo; todas as coisas vivas são afins; os princípios da Matemática são os princípios de todas as coisas.
Dentre os principais nomes da Escola Pitagórica destamos: Filolaus de Tarento (nasceu c. 470 a. C. e morreu c. 390 a. C.), Arquitas de Tarento (nasceu em 428 a. C. aproximadamente) e Hipasus de Metapontum (viveu por volta de 400 a. C.). O pitagorismo influenciou fortemente as obras de Demócrito de Abdera e Platão. Alguns séculos mais tarde houve uma revivência da Escola Pitagórica, e seus protagonistas passaram a ser chamados de neo-pitagóricos. Dentre esses destacamos Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100.
Tudo é Número
Os Pitagóricos chegaram à razoável conclusão, em seus estudos, de que "tudo são números". Essa afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.
Os Pitagóricos notaram haver uma relação matemática entre as notas da escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a 3/4 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzida à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em "progressão harmônica", sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. A média harmônica de dois números a e b é o número h dado por 1/h = (1/a + 1/b) 2.
Pitágoras dava especial atenção ao número 10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. "A estrela de Pitágoras" é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular. O pentágono regular era de grande significação mística para os Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.



Pentágono de cinco pontas:

figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da Escola Pitagórica.
As diagonais do pentágono regular cortam-se em pontos de divisão áurea. O ponto de divisão áurea de um segmento AB é o ponto C desse segmento que o divide de modo que a razão entre a parte menor e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e o todo, ou seja, AC/CB = CB/AB. Para os antigos gregos, o retângulo áureo, isto é, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, é o retângulo de maior beleza.

A ÁRVORE DE PITÁGORAS

A figura em forma de árvore da página de abertura do Hipertexto Pitágoras é um fractal tridimensional chamado Árvore de Pitágoras.



Nossa versão da Árvore de Pitágoras foi construída por Yolanda Kioko Saito Furuya com o aplicativo Maple V, adaptando uma figura de Harm Derksen.

João Carlos Vieira Sampaio

A figura da Árvore de Pitágoras nos recorda que a Matemática é às vezes comparada com uma árvore, com raízes (Fundamentos da Matemática), tronco (estruturas numéricas e geométricas) e galhos (os principais são a Álgebra, a Análise e a Geometria). Independentemente de ser ou não apropriada essa comparação, vamos fazer uma breve descrição da Matemática, conforme a vemos hoje.
O que é Matemática.
Os matemáticos, em geral, preferem se abster de definir a Matemática. Penso que isso se deve a um sentimento ou a uma impressão de que, apesar do muito que já foi conseguido no desenvolvimento dessa ciência, algo de grande importância ainda precisa ser compreendido, conforme sugere a citação. Conscientes do caráter efêmero de tudo que é construído pelo homem, talvez seja mais prudente aguardar o amadurecimento dos tempos, e limitar nossas considerações à descrição do que tem sido efetivamente conseguido.
Quanto ao uso da palavra matemática diz a tradição que isso teve origem com Pitágoras. Segundo Anglin [1] pág. 33, a raiz do termo matemática deriva de uma língua Indo-Européia e seu significado é relacionado com a palavra mente.
Referências
[1] Derksen, H., Árvore de Pitágoras, em http://www.maplesoft.com/cybermath/samples.html.
[2] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras bidimensional. 1998, UFSCar.
[3] Furuya, Y.K.S., Programa de geração da Árvore de Pitágoras tridimensional. 1998, UFSCar.

A representação de Pitágoras foi adaptada da página. http://christusrex.org/www1/stanzas/S2-Segnatura.html. As figuras do pentágono e da estrela de cinco pontas foram preparadas por Roberto Paterlini, do DM-UFSCar, com o Corel 7. As outras figuras foram preparadas por Yolanda Kioko Saito Furuya, do DM-UFSCar.

A crise na Escola Pitagórica
Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitagórica foi a de que dois segmentos nem sempre são comensuráveis, ou seja, nem sempre a razão entre os comprimentos de dois segmentos é uma fração de números inteiros (número racional). Essa descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de Pitágoras: se um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa terá um comprimento x satisfazendo x2 = 2, e portanto a razão entre a hipotenusa e um cateto não será uma fração de dois inteiros, já que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Parece que isso desgostou profundamente os Pitagóricos pois era uma descoberta inconciliável com a teoria dos números pitagórica. Somente no século IV a.C., Eudoxo, com sua teoria das proporções, redefiniu um conceito mais geral de razão entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria, definir-se a razão entre dois segmentos comensuráveis ou não.

Acesso a outros endereços na internet sobre Pitágoras

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html. Acesso à página sobre Pitágoras no sítio MacTutor History of Mathematics.
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit3/unit3.html.
Pythagoras & Music of the Spheres.
Referências
[1] Anglin, W. S., Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York, Springer Verlag, 1994.
[2] Anglin, W. S. e Lambek, J., The Heritage of Thales.
New York, Springer Verlag, 1995.
[3] Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996.
[4] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.
[5] Honderich, T., The Oxford Companion to Philosophy. Oxford, Oxford University Press, 1995.[6] Rezende, A., Curso de Filosofia. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Editor, 1999.

O Teorema de Pitágoras

Yolanda Kioko Saito Furuya

Relacionado ao nome de Pitágoras temos o famoso Teorema de Pitágoras, amplamente utilizado na Matemática Elementar.



Teorema de Pitágoras
Num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Em outros termos, se a e b são os catetos do triângulo retângulo e se c é sua hipotenusa, então a2 + b2 = c2.
A figura abaixo mostra o significado geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.


A tradição matemática ocidental, durante longo tempo, atribuiu a descoberta deste teorema a Pitágoras. Pesquisas históricas mais recentes constataram que o teorema era conhecido pelos babilônios, cerca de 1500 a.C., portanto muito tempo antes de Pitágoras (confira [2], p. 61 e 63). Os chineses o conheciam talvez por volta de 1100 a.C. e os hindus provavelmente cerca de 500 a.C. (confira [1], cap. 12).

Uma das demonstrações mais elegantes do Teorema é conhecida como a demonstração do quadrado chinês.

Dado um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, construímos dois quadrados de mesmo lado a+b. Em cada um desses quadrados dispomos quatro cópias do triângulo retângulo, como na figura abaixo (em vermelho). A soma das áreas remanescentes do primeiro quadrado (em amarelo e verde) é igual à área remanescente do segundo quadrado (em azul). Portanto a2+b2=c2.

Outra demonstração, também obtida da decomposição do quadrado, é atribuída a Bhaskara, matemático hindu do Século XII. Segundo [2], p. 258, Bhaskara teria apenas desenhado a figura e escrito "Veja!", sem dar maiores explicações.




O quadrado maior, de lado c, é decomposto em quatro cópias do triângulo retângulo e mais um pequeno quadrado de lado a - b.
Existem por volta de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Na internet você pode obter mais informações:

· O matemático Einar Andreas Rodland, entrando em uma lanchonete, observou que o desenho do piso podia ser usado para uma demonstração do Teorema de Pitágoras. Você pode ler sobre esta história em http://www.math.uio.no/~einara/McPyth.html.

· Você pode fazer uma inesquecível viagem na Internet e estudar uma visualização animada, construída por Jim Morey, de uma das demonstrações do Teorema de Pitágoras atribuídas a Euclides. O endereço é http://sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html.

· Alexander Bogomolny apresenta em http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.html 28 provas do Teorema de Pitágoras assim como acesso a outras páginas da internet relacionadas com o mesmo tema.

· Em http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html, página do Eric Weisstein's World of Mathematics, você encontra informações adicionais.

Referências
[1] Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996.
[2] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.

Biografias de outros matemáticos, no matemática na veia:
Apostila com 8 páginas para download Biografia de Pitágoras

Em breve mais atualizações, aguarde.

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47 Comentários

daniella disse...

oq ?

Arilza Vieira disse...

Amei o site e minha pesquisa ficou excelente com o trabalho variado desse site.Realmente fazem jus ao nome "matemática na veia".Felicidades

caco disse...

Obrigado Arilza. Os elogios são o combustível do blog.

Anônimo disse...

muito bom este site, encontrei tudo que precisava saber sobre pitágoras.

caco disse...

Obrigado! Se precisar de mais alguma coisa é só pedir que eu dou um jeito de conseguir. Coloque o seu email na próxima vez que comentar(seu nome)

alana disse...

vou faze meu trabalho agora

Anônimo disse...

Dannynhah !..
eu adorei esse site qêe me ajudou muito !
e até fiz um trabalho de pitágoras graças a esse site !
adorei mais eu acho qêe está faltando as obras de pitágoras não ??
espero resposta !!
meu email é :
dannys2@ymail.com
grata !!!
BjÓks...;)

matematica-na-veia disse...

Dannynhah,primeiro quero lhe agradecer pelo elogio. Fico feliz que este material tenha lhe ajudado. Quanto as obras de Pitágoras, realmente faltam muitas. Mas pretendo atualizar o mais breve possível. Não sei se você olhou em outras páginas do blog,mas têm mais dois textos sobre Pitágoras.

E no decorrer do texto deixei alguns links para serem visitados se fosse necessário para uma pesquisa mais aprofundada.

http://matematica-na-veia.blogspot.com/2008/02/vdeo-sobre-biografia-de-pitgoras-de.html

http://matematica-na-veia.blogspot.com/2007/11/teorema-de-pitgoras-no-cu.html

http://matematica-na-veia.blogspot.com/2007/09/pitgoras-pitgoras-representado-por.html

Obrigado pela visita. Abraços e um bom trabalho.

Anônimo disse...

Bom eu adorei o site por q atravez dele eu pude termina o meu trabalho!!!!!!

Anônimo disse...

Sou professora primária e vejo a dificuldade de relatar ao aluno o verdadeiro caminho,ensinar matemática.
Obtive uma idéia,através da ajuda deste site;introduzir já no principio do ano letivo a capa do caderno,ao invés da capa tradicional intruduzir "A HISTÓRIA DE MATEMÁTICA". Já tirei copia!
Obrigada!

caco disse...

É gratificante saber que os conteúdos do blog estão sendo úteis tanto para alunos quanto para professores. Um grande abraço para todos!

Anônimo disse...

muito bom o site,e me ajudou muito...

Anônimo disse...

MUITO OBRIGADA *-*
Ajudou muito no meu trabalho da escola, e aprendi bastante também, adorei, e obrigada !

caco disse...

Obrigado Sr(a) Anônimo(a)! Se precisar de mais alguma coisa é só pedir aqui no blog, ou mandar um e-mail. Só uma coisinha! Coloque o seu nome ou email na próxima vez que comentar.Um abraço e até a próxima visita.

andre disse...

valeu galera

caco disse...

É isso aí André, veleu pela participação. Com diz o 'velho deitado' , "de grão em grão a galinha enche o papo".

Anônimo disse...

OI Aila parabéns pelo o Blog fk Massa
e assim podemos ver com foi que surgio amatematicaa e suas origens. Gosteiii
beiijaaooa té mas
Ass:Fabricio Sena

Ademilton disse...

Gostei do blog e tenho certeza que todos que visitaram, bem informativo, estão todos de parabéns.

Abraço.

Anônimo disse...

foi muito legal saber que podemos contar com um site desse que nós informa sobre a vida de pitágoras me ajudou muito na tarefa da escola

Anônimo disse...

Ameeeeeeeeeeeeeeei, eu só quueria um de Talees de Mileto tbm hehehe, ai tuudo ficava perfeito (:, meu email = jubss2jubs@hotmail.com

caco disse...

Obrigado a todos que comentaram e elogiaram o blog matemática na veia. Pois é Jub, um erro imperdoável que pretendo corrigir nos próximos dias. Acredite que já tenho a biografia de Tales prontinha, só que meu hd travou e estou tentando recuperar o conteúdo aos poucos. Um abraço a todos!

Carina Kottwitz disse...

cade as principais obras de pitagoras ?}?

caco36 disse...

 Pois é carina , falar sobre o mestre Pitágoras não é um trabalho fácil. Você está coberta de razão, mas prometo que nas próximas postagens me lembrarei da sua pergunta. Abraços.

caco36 disse...

 Será providenciado Anonimo!

caco36 disse...

 Valeu Ademilton. Um abraço e volte sempre!

caco36 disse...

 Beleza anomimo! Um trabalho a mais realizado com a ajuda do blog matemática na veia, hehe!

Brunna-97 disse...

adorei o texto é muito bom e me ajudou muito no meu trabalho!!

Agda Garota10 disse...

nossa show de bola
gostei muito de estudar sobre a vida de
PITÁGORAS

caco36 disse...

 Valeu Bruna! Volte sempre que precisar.Abraços.

Junior-chagas11 disse...

ta doido mana irado wind surf .eu ñ sou doido 

Luana-s2 disse...

aff  quii chatoo estudaa isooo mano era pra mim taa na rua e melhorr
(8) onde chegoo paroo tudooo  rsrs

Genesio disse...

Valeu!!!  ajuda muito pra quem quer aprender

Kmylla-12 disse...

chatooo idiotta nem mostra as principais obras

Betania disse...

PUDE APRENDER BASTANTE COM O REFERIDO TRABALHO. OBRIGADA FOI DE GRANDE CONTRIBUIÇÃO PRA MIM!!!!!!

Ana beatriz s2 disse...

aff nada melhor do que matemática pra ñ dizer ao contrario

Vitoria Silveira3 disse...

muito bom a materia.. parabens, consegui fazer meu trabalho todo..

erick disse...

primeira vez q eu fiz um trabalho sobre pitágoras e achei muinto bom apesar de n gostar de matamática mas te que fim acabei as22:49 desta sesta-feira.

Taborda disse...

Muito bom o artigo porém a média harmôica, no segundo membro da equação, não multiplica por dois mas sim divide. Valeu!!!

barbara disse...

Eu adorro matematica mas esse conteudo e o q ta mim dando muito trabalho
mas ate q eu to gostando um pouco kkk....
mas essa biobrafia ta mim ajudando a entender mais sobre esse conteudo obrigado a todos vocês

marcos vinicios vitor carvalho disse...

parabens a materia e otima atraves dela consegui fazer o meu trabalho todo ..... obrigado

kauani disse...

legal

celiny stargirl disse...

valeu mesmo adorei, espero ver mais blogs cmo esse....

aderson disse...

e muito bom esse material adorei

euzinha disse...

gostei mas ñ gosto de matemática

joelson vaizer disse...

tudo em dia mas o problema é q não gosto de matemática

Anônimo disse...

This article is genuinely a fastidious one it helps new net visitors, who are wishing for blogging.


Feel free to visit my site - meditation

Anônimo disse...

Muito legal, adorei o blog.
Me apaixonei mais e mais pela matemática.
Valeu, com isso vou fazer um trabalho otimo obg bjoos

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