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Progressões e somatórios (Sequências)

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

PROGRESSÕES
      Neste artigo vamos introduzir uma pequena noção sobre progressões,sequências, além de somatórios,os quais serão retomadas em outros artigos mais detalhadamente,com programas para treinamento,com tutoriais e dicas.

Começando com alguns exemplos de sequências:

Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ..., dezembro)
As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si)
Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7,8,9, ...)
As letras do alfabeto: (a,b,c,d,e,...,m,n,...,x,y,z)
Os dias da semana: (domingo, segunda,terça ..., sábado)
As quatro estações do ano: (primavera, verão, outono, inverno)

            Essas sequências apresentadas acima estão na forma explícita. Pois segundo o atual grau de conhecimento da sociedade,podemos interpretar facilmente qual será o próximo termo a partir de qualquer termo da sequência, se ela é finita ou infinita.
A natureza das sequências nos demonstra a necessidade de uma ordenação entre cada termo, ou seja, uma lei de formação que determine o antecessor e o sucessor de qualquer termo participante da sequência.

As sequências ainda podem ser apresentadas de duas maneiras:
Através da fórmula do termo geral. Por exemplo:

an = 4n - 9, n Є N* onde:
a1 é o primeiro termo da sequência; 
a2 é o segundo termo da sequência; e assim sucessivamente, até an é o enésimo termo [termo geral].

para n = 1 ; a1 = (4 . 1) - 9 = -5
para n = 2 ; a2 = (4 . 2) - 9 = -1
para n = 3 ; a3 = (4 . 3) - 9 = 3
para n = 4 ; a4 = (4 . 4) - 9 = 7
para n = 5 ; a5 = (4 . 5) - 9 = 11 

que origina a sequência: ( a1; a2; a3; a4; a5; ...) ( -5; -1; 3; 7; 11; ...)

Através da Fórmula de Recorrência

a1 = 2
an+1 = an + 5
Como já conhecemos o primeiro termo (a1 = 2), chegamos aos demais pela seguinte conclusão:

Para estabelecer uma relação de coesão nessa fórmula " an+1 = an - 5 ", o a2 tem n = 1, pois " a1+1 = a1 + 5 ", que resultará em " a2 = a1 + 5 " ,

Onde:

a2 será o termo sucessor de a1 e a1 já conhecemos o valor.
Pedindo então os cinco primeiro termos:
a2 — n = 1
a1+1 = a1 + 5
a2 = 2 - 5
a2 = - 3
a3 — n = 2
a2+1 = a2 + 5
a3 = -3 - 5
a3 = - 8
a4 — n = 3
a3+1 = a3 + 5
a4 = -8 - 5
a4 = - 13
a5 — n = 4
a4+1 = a4 + 5
a5 = -13 - 5
a5 = - 18

Teremos:   (a1; a2; a3; a4; a5) (2; -3; -8; - 13; - 18)


SOMATÓRIO DE TERMOS

A letra grega maiúscula (∑) costuma ser utilizada para indicar soma dos termos de uma seqüência. Por exemplo:
5


an
Lê-se: Somatória de an com n variando de 1 até 5
n = 1

S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

Nota: A letra ou caracter sigma ou Σ [minúscula inicial ou medial σ, minúscula final ς] é a décima oitava letra do alfabeto grego e que corresponde ao nosso S. No sistema numérico grego, tem o valor 200.

Observação :Em artigos posteriores voltarei a dar dicas mais detalhadas sobre somatórios.


Alguns exercícios para praticar:

a)- Dado a sequência an = 9n - 4, n Є N*, descubra o valor de a6 + a7 e verifique se o número 239 pertence a sequência:

a6 = 9(6) - 4
a6 = 54 - 4
a6 = 50
a7 = 9(7) - 4
a7 = 63 - 4
a7 = 59

a6 + a7 = 50 + 59 = 109

Para verificar se o número 239 pertence a sequência, devemos substituir an por 239. Como n Є N* ( todo número natural, exceção do zero), n deve ter valor natural.
239 = 9n - 4
- 9n = -4 - 239 ( -1)
9n = 243
n = 27
Assim o vigésimo sétimo termo da sequência tem como valor duzentos e trinta e nove.

b) - Dada a sequência an = 4n2 - 3n + 5, n Є N*; determine o sétimo termo.
a7 = 4(7)2 - 3(7) + 5
a7 = 4(49) - 21 + 5
a7 = 196 - 21 + 5
a7 = 180

c) - Seja a sequência definida por an = 4n + 3, n Є N e n ≥ 1, dê a soma dos cinco primeiros termos.
a1 = 4(1) + 3
a1 = 4 + 3
a1 = 7
a2 = 4(2) + 3
a2 = 8 + 3
a2 = 11
a3 = 4(3) + 3
a3 = 12 + 3
a3 = 15
a4 = 4(4) + 3
a4 = 16 + 3
a4 = 19
a5 = 4(5) + 3
a5 = 20 +3
a5 = 23
(a1 + a2 + a3 + a4 + a5) → (7 + 11 + 15 + 19 + 23) = 75


            Em seguida temos uma prévia de um screenshot da apostila sobre história das sequências e progressões,escrita pelo Prof. João C.V. Sampaio. sampaio@dm.ufscar.br

            Um excelente resumo da matéria,bastante intuitiva,e alguns pontos relacionados a história da escola pitagórica e seu fundador,progressões no Egito antigo,não menos importante,os argumentos de Zenão.






Para ajudar no desenvolvimento de seus exercícios, temos uma categoria de softwares, e planilhas em Excel, acesse e divirta-se, elaborando, e resolvendo problemas com facilidade.

Em breve mais atualizações, aguarde.

Se você quer cooperar com dicas, programas, artigos; fique a vontade, e mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo, por enquanto ficamos por aqui, Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

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Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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4 Comentários:

  1. Muito?? Boa,ruim,legal? Mesmo assim valeu pelo comentário Aiq.
    Abração, e volte sempre que quiser.

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