Binomiais consecutivos:Introdução

A importância da análise combinatória na matemática é incontestável, apesar de ser um tema que envolve muitas dificuldades em relação à formulação e, principalmente, no que diz respeito à interpretação dos seus enunciados. Podemos concluir que, não basta apenas sabermos as propriedades, e decorarmos as fórmulas, temos que interpretar cada segmento do problema proposto, ou seja, temos que dividir o problema para tornar a interpretação mais fácil. 

É claro que nossa natureza é imediatista, pois somos criados assim. Queremos tudo pronto para ontem, o que é um “veneno”, quando se trata de interpretarmos problemas matemáticos. Seguindo esta linha de raciocínio, propomos que você leia o conteúdo completamente, para não perder detalhes muito importantes, e que desenvolva todos os exercícios disponíveis, e se mesmo assim, surgirem dúvidas referentes aos mesmos, faça suas perguntas aqui no blog.

Para começarmos um novo conteúdo vamos recordar rapidinho o que aprendemos no último artigo. Aprendemos que “Binomiais complementares” são dois números binomiais que apresentam o mesmo numerador e que a soma de suas classes é igual ao denominador.

Os dados são representados por números consecutivos, de forma que seja possível descobrir seu complementar a cada jogada feita.

Observação: Nunca esqueça que classe é o denominador, ou seja, o número de baixo de um coeficiente binomial. E que coeficiente binomial é um número binomial. Agora que já recordamos o significado de “Binomiais complementares”, vamos começar um novo conteúdo.

Dois números binomiais de mesmo numerador são consecutivos se suas classes são números consecutivos.

Por exemplo, são consecutivos os seguintes binomiais:

Supondo satisfeitas as condições de existência de dois binomiais consecutivos, é válida a relação a seguir, denominada relação de Stifel, também conhecida como regra de Pascal é representada pela seguinte igualdade:

(Michael Stifel, matemático alemão, 1486 - 1567). Foi considerado o maior algebrista da Alemanha do séc. XVI.

A relação de Stifel, como se pode observar expressa a soma de dois números binomiais consecutivos em função de um único binomial.

Por exemplo:

 

Observe os exemplos a seguir, em que utilizamos a relação de Stifel para a resolução de equações que envolvem os números binomiais.

Resolva as equações seguintes:

Resolução:

Aplicando a relação de Stifel duas vezes no segundo membro da igualdade, obtemos:

 

Resolução:
Neste caso vamos aplicar a relação de Stifel para decompor

Resolução:

Substituindo o binomial  pelo seu complementar, teremos:

E3-Exercícios:

1-  Dentre as igualdades, identifique as verdadeiras.

 

 

 

Gabarito:

  a)V    b)V    c)F    d)F    e)F    f)V    g)F

  

2 – Escreva cada uma das expressões em função de um único número binomial.

Gabarito:

 
3 – Resolva as equações:

Gabarito:

a) S={8;9} b) S={7;11} c) S={41;18} d) S={1/2;3} 

 Para conferir os resultados, use o super software MathSys. Em análise combinatória você tem vários conteúdos disponíveis para auxiliar seus estudos: Principio aditivo e multiplicativo , Fatoriais , permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de diversas dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento, e complemento dos exercícios.

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e sugestões.

Observação:
- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.
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Referências:

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

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Atualizações do blog Matemática na Veia

Colocando ordem na casa:

Correções e atualizações do texto “Euclides de Alexandria”

O texto“Área de figuras planas com o Excel” também será atualizado, pois um dos links estava quebrado.

A planilha de Excel, disponibilizada para download “Cálculo de figuras planas com Excel” estava hospedada em um site no Geocities, que em 2009, encerrou os serviços de hospedagem de sites. Consequentemente alguns links do blog ficaram quebrados, mas, já estou verificando e concertando os mesmos.

 Imagen do programa feito em excel:




 Por enquanto é só! Caso você perceba algum erro nos textos aqui do blog, avise-nos por e-mail, ou deixe seu recado aqui.
Obrigado, e até a próxima.

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Atualizações e correções dos artigos do blog.

A partir de hoje vou criar um texto com as atualizações e correções que faço aqui no blog, pois tenho observado que mesmo prezando pela boa qualidade dos artigos, acabo caindo na armadilha do “copia e cola”, da pressa em postar algo novo, o que muitas vezes acaba atrapalhando no contexto final.

O último erro grosseiro – quase estúpido – que cometi foi o fato de colocar uma imagem descrevendo a calculadora de matrizes. Alguns botões estavam errados, ou seja, não descreviam as funções verdadeiras, mas nada que afete o código fonte.

Como o blog já conta com mais de 600 assinantes, que recebem em seus e-mails os textos aqui postados, e acredito que a maioria não goste de ficar recebendo artigos repetidos, – na verdade atualizados, ou corrigidos – então resolvi por em prática esta idéia para avisá-los de que se trata de uma atualização.

Não vou descrever detalhadamente cada uma das atualizações, mas simplesmente quando for fazê-la, vou colocar o nome do artigo, e se achar necessário, colocarei o trecho entre aspas, o qual será atualizado.

Vou começar então com o último artigo, onde foi colocada uma imagem com um erro na descrição das funções.

Correção dos botões e atualização em:

Corrigido os botões e atualizado artigo com um imagem  descrevendo a definição de soma de matrizes.

Calculadora científica para cálculos on-line e dicas

Correção do país, de Grécia para Egito, em:

Conjunto dos números Racionais

Provavelmente existam muitos erros nos textos, e serão corrigidos junto com as atualizações que for fazendo.

Caso você perceba um erro, indiferente se de português, matemática, ou até algum deslize relacionado á direitos autorais nos avise. Colabore com a sua participação, pois juntos podemos construir um ambiente de qualidade.

Vou aproveitar, e avisar os visitantes que comentaram estes últimos dias, de que não estou conseguindo comentar aqui no blog. Não sei ainda se é um problema de configuração, ou é problema com a plataforma do próprio Blogger. Assim que este problema for resolvido, vou responder a todos os comentários.

Obrigado a todos os leitores, assinantes, visitantes.

Até o próximo artigo.

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Calculadora científica para cálculos on-line e dicas

 Colocando ordem na casa:

Outro dia uma leitora do blog comentou que as imagens deste texto estavam desfocadas, por isso resolvi pesquisar sobre o assunto para melhorar a qualidade das imagens incluídas nos textos aqui do blog.Quem acompanha o blog “Matemática Na Veia” com frequência, deve ter percebido que a qualidade das imagens esta melhorando gradativamente.Faça você mesmo uma comparação com as imagens dos últimos textos com as do texto "Exercícios resolvidos de permutações com repetição". Para quem apenas chega num blog, ou site de matemática, e lê, ou copia o conteúdo, nem percebe que é um trabalho bastante demorado. Para chegar à fase final de um texto com fórmulas matemáticas, que exige muitas vezes, 15, 20, 25 imagens, é necessário muito trabalho e dedicação.  Escrever um texto como o de hoje é bem simples, pois foi incluída nele, apenas uma imagem.

A diferença é enorme, pois um texto deste tamanho leva 30 minutos para ser digitado, e outros 10 para ser colocado a disposição no blog. Já um texto com fórmulas, - que são digitadas e salvas como imagens- é necessário, além de muita pesquisa e estudo, duas a três horas de trabalho – dependendo da complexidade do texto, esta tarefa pode levar até 6 horas -. Também estou arrumando algumas partes do código, para deixar o layout mais organizado e limpo, até porque, para o visitante que usa o navegador IE, as coisas podem se “apresentar” mais desorganizadas do que para os usuários do Firefox. Alguns problemas, como o link para o “Topo da página” que se encontra embaixo, no canto direito do blog, já foram solucionados, e deste modo pretendo arrumar cada um dos erros encontrados. Ainda têm muita coisa para organizar, mas o caminho está sendo percorrido lentamente.

Para os que procuram ferramentas para cálculo on-line, posso antecipar que gradativamente serão incluídas algumas ferramentas para serem usadas, tais como:

Calculadora científica, Calculadora de números binomiais, fatoriais, porcentagem, equações, fórmula de Bhaskara, matrizes, funções lineares, função afim, quadráticas, e outras mais complexas, além de alguns applets construídos com a ferramenta Geogebra.

Como estou aprendendo a programar aos poucos, e ainda não domino nenhuma das linguagens de programação necessárias para criar estas ferramentas, vou adiar uns dois ou três meses para incluir as mais sofisticadas aqui no blog.

A primeira e mais simples já foi incluída. Uma calculadora científica bem simples, mas que pode ajudar a resolver cálculos como adição, multiplicação e outros problemas básicos.

Para usar esta calculadora é fácil! Apenas insira os valores no campo “Visual”, e clique na função desejada.

 

Também estou quase terminando uma calculadora de matrizes com as seguintes funções: Adição, subtração, multiplicação, divisão, determinantes.

A imagem da calculadora você pode ver abaixo.

 

Usei o código fonte autorizado pelo WebDesigner Ricardo Cabral. Está e outras ferramentas, estão disponíveis em seu site, no seguinte endereço http://universitario.lusopc.info/   com algumas implementações e adaptações.

Nas atualizalções desta ferramenta serão incluidas várias funções além das já existentes.

Fatoração LU, transposta, Chió , etc.

Além do que você vê na imagem também terá algumas definições quando for clicar no botão para fazer os cálculos.

Por exemplo:

Você insere os valores nas células e clica no botão A+B=C para obter a respostas, e uma imagem vai aparecer com a definição de soma de matrizes.

 

 Se você sabe programar, e têm códigos que possam ser usados aqui no blog, mande sua contribuição.

Veja também:

Softwares : Diversos softwares matemáticos para auxiliar nos seus cálculos.

Calculadoras : Dicas de calculadoras científicas.

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BINOMIAIS COMPLEMENTARES - INTRODUÇÃO

Dois números binomiais são complementares se apresentam o mesmo numerador e se a soma de suas classes for igual a esse numerador.

Exemplos:

Podemos demonstrar que dois binomiais complementares são iguais. Assim:

Dedução. Por definição temos que:

 Por exemplo, observe os seguintes binomiais complementares

  dados no exemplo “a” :

Vamos visualizar o mesmo problema com a outra notação:

 

Como conseqüência dessa propriedade, temos:

   E2-Exercícios para treinar seu aprendizado:

1 - Ache o complementar de cada um dos números binomiais:

2 – Resolva as seguintes equações:

  2- Gabarito

  a) S={8;9}  b)S={-4;-3;3;4}  c) S={7}  d) S={-2;4}    

Mais exercícios e dicas em:

Apostila com exercícios e resolução completa (Em breve). Para conferir os resultados, use o super software MathSys. 
Em análise combinatória você tem as seguintes conteúdos disponíveis:

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REFERÊNCIAS:

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

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Binômio de Newton - Coeficientes binomiais

Nos artigos anteriores em análise combinatória, tratamos de Binômios de Newton e sobre, como trabalhar com a fórmula do Binômio de Newton, e noutro artigo, também vimos a biografia de Niccolo Tartaglia, um dos matemáticos mais promissores do século XVI, e também,  responsável pelos primeiros estudos sobre o número de combinações possíveis para um determinado fenômeno. Deste artigo em diante vamos trabalhar com algumas propriedades dos números binomiais, ou como alguns autores preferem coeficientes binomiais. As propriedades sobre os números binomiais serão divididas em três textos (aulas), cada uma com desenvolvimentos da propriedade a que se refere o tema, além de exercícios com resoluções detalhadas e gabarito no final do texto.Começamos com o tema principal “número binomial”, e posteriormente veremos “binomial complementar” e “binomial consecutivo” respectivamente.

NÚmeros Binomiais :
Dados dois números naturais n e k , com n ≥ k , o número   é chamado de número  binomial, ou binomial n sobre k definido da seguinte forma:

O número binomial também é chamado de coeficiente binomial.

O número n é o numerador do binomial e k é chamado classe do binomial. Observe os exemplos de alguns números binomiais.

  

Observações:

Como vimos C_n,0  é a quantidade de subconjuntos com 0 elementos que se pode obter de um conjunto de n elementos. Com 0 elementos só existe um subconjunto que é Ø

Exemplos: 

E1-Exercícios:

1- Calcule: 

GABARITO:

a) 56   b) 220  c) 190  d) 10  e) 1  f) 1   g) 1   h) n

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Para baixar este conteúdo no formato PDF.  

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Referências:

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

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Biografia de Nicolo Fontana de Brescia - Tartaglia

Nicolo Fontana de Brescia - Tartaglia

Niccolò Tartaglia [ nēk-kōlô' tärtä'lyä , pseudônimo de Niccolò Fontana, (Brescia, c. 1499 — Veneza, 13 de dezembro de 1557) foi um matemático italiano, cujo nome está ligado a tabela triangular mais conhecida como “Triângulo de Pascal”.

Nicolo Fontana de Brescia, mais conhecido por Tartaglia, nasceu em Brescia por volta de 1500 e morreu em Veneza em 1557. Seu pai, Michele Fontana, morreu em 1506 quando Tartaglia tinha apenas 6 anos, deixando sua viúva, dois filhos e duas filhas na pobreza. O seu apelido Tartaglia, tem uma história curiosa, que ele mesmo conta no seu livro “Quesiti et inventioni diverse” e que, em resumo, é a seguinte: Em 1512, quando os franceses invadiram Brescia durante a Guerra da Liga de Cambrai. Comandadas por Gaston de Foix. A milícia de Brescia conseguiu defender a sua cidade por sete dias. Até o final desta sangrenta batalha, mais de 45.000 moradores da cidade de Brescia foram mortos. Durante o massacre, Nicolo procurou refugio, com a mãe e a irmã, na igreja da cidade, julgando ser um sítio seguro. Mas os soldados nem esses locais pouparam e Nicolo, diante da própria mãe, foi gravemente ferido com golpes de sabre e abandonado moribundo entre os cadáveres. O menino sofreu ferimentos na cabeça e na face, o que ocasionou em um profundo corte na mandíbula e palato.

A mãe, viúva e sem meios para pagar a um médico, tratou-lhe das feridas, com a sua própria saliva, do mesmo modo que os animais tratam os seus filhotes. Nicolo salvou-se, mas devido às sequelas do grave ferimento, ficou definitivamente com grande dificuldade na fala, tendo assim ficado com a alcunha de Tartaglia, que significa “tartamudo”, ou em bom português, simplesmente “gago”. Esse nome ficou-lhe durante muito tempo como lembrança da sua desgraça e, por isso, resolveu adotá-lo, passando a chamar-se Nicolo Tartaglia. Como podemos observar, ele usava uma longa barba, a qual usava para esconder suas terríveis cicatrizes. O próprio Tartaglia cita em um dos seus livros a seguinte frase, “Se minha barba não escondesse minhas cicatrizes, eu pareceria um monstro”.

Oriundo de uma família muito humilde, e com poucos recursos financeiros, tornou-se autodidata, onde só aos catorze anos e pelos próprios meios aprendeu a escrever, mas isso não foi obstáculo para que viesse a ser, engenheiro agrimensor, guarda-livros e a ensinar matemática em cidades italianas como Verona, Veneza, Piacenza e Brescia, – Foi professor de Galileu galilei em Florença- .Além disso, criou importantes trabalhos, onde demonstrou muito dos conhecimentos adquiridos nas áreas de aritmética, geometria, álgebra, balística e estática.

Sendo possivelmente, o único professor de matemática em Veneza, Tartaglia aos poucos foi adquirindo uma reputação promissora como matemático, devido às suas bem sucedidas participações em inúmeros debates públicos e concursos matemáticos onde ganhou diversos prêmios.

Foi pioneiro na aplicação da matemática à artilharia bélica, e em 1537, foi impressa a sua primeira obra “Nova scientia inventa” que se refere à balística, no qual considerou que os movimentos, natural e violento, aristotélicos eram compatíveis; desse modo, utilizou-os para explicar o movimento oblíquo de projéteis cuja trajetória seria, então, composta de uma parte retilínea (correspondente à parte violenta), seguida de uma parte circular (mista) e, por fim, de uma parte vertical (correspondente ao aspecto natural do movimento). Para Tartaglia, o efeito mais longínquo, ou seja, o alcance máximo é medido entre o ponto de partida e o ponto onde começa a vertical e que, tal distância, pode corresponder a duas inclinações diferentes do canhão lançador do projétil, sendo mínima para 90° e máxima para 45°.

Antes de Tartaglia, Leonardo da Vinci havia estudado a ciência da balística, mas seu trabalho não era tão abrangente. Em sua análise da dinâmica dos corpos em movimento, Tartaglia diferenciou vários tipos de movimentos distintos.

Desenhos criados por Tartaglia sobre o estudo de peças de artilharia. Este estudo dizia respeito às várias formas das peças e dos diferentes materiais usados em projéteis de artilharia usados na época. O livro foi escrito em italiano por Tartaglia, e traduzido para o idioma inglês por Cipriota Lvcar. 

Balança tipo “Stater” usada na época. (Trapézio).

Como havia vários tipos e tamanhos de materiais envolvidos nos estudos de Tartaglia foi necessário construir uma balança para pesar as peças de artilharia – Neste caso canhões-.

A Tartaglia também é atribuído o desenvolvimento do primeiro método geral para resolver equações cúbicas (equações do terceiro grau). Ele escreveu o tratado sobre balística – citado anteriormente- para determinar que o intervalo máximo de uma peça de artilharia D corresponde a um ângulo de disparo de 45 °, foi autor também de um tratado geral de números e medidas (1543) publicando pela primeira vez o triângulo que leva seu nome (também conhecido como triângulo de Pascal).

 (trabalho posteriormente confirmado pelos estudos realizados por Galileu), bem como pela expressão matemática para o cálculo do volume de um tetraedro, em termos do comprimento de seus lados, conhecida como fórmula de Tartaglia, uma generalização da fórmula de Heron (usado para calcular a área do triângulo): (incl. Quaisquer tetraedros irregulares) como o determinante de Cayley-Menger.

  A fórmula de Heron. 

   

  A fórmula de Tartaglia.Onde d_ij é a distância entre os vértices i e j.

 

Seguiu-se em 1546, o “Quesiti et inventioni diverse “ , que tem a forma dialogada e inúmeras notas autobiográficas de caráter geral, no qual modificou algumas explicações tratadas sobre o movimento oblíquo de projéteis, passando a defender uma trajetória totalmente curvilínea, que já havia sido considerada por Leonardo da Vinci. Para explicar essa trajetória, Tartaglia admitiu a hipótese de que quanto mais rapidamente o projétil se desloca, mais pesado se torna e, portanto, mais fortemente é puxado pela Terra. Ainda nesse livro, Tartaglia deu continuidade aos estudos de corpos em queda livre e em planos inclinados, iniciados na obra  “Nova scientia inventa” de 1537.  Nesses estudos afirmou que, “Todos os corpos graves semelhantes e iguais partem do início de seu movimento natural com a velocidade igual, mas aumentam suas velocidades de maneira tal que, aquele que atravessar um espaço maior, se deslocará mais rapidamente". Afirmou também que, “Quanto mais um corpo grave se afasta do princípio ou se aproxima do fim do movimento violento, mais lentamente ele se desloca". Ao analisar o movimento de um corpo através de um hipotético buraco feito na Terra e passando pelo seu centro, concluiu que “tal corpo ficaria oscilando em torno do centro de nosso planeta, diminuindo gradualmente sua velocidade, até parar". Com relação ao movimento de um corpo em um plano inclinado, observou que a gravidade natural do corpo colocado em tal plano age tanto menos, quanto maior for sua inclinação. É também de Tartaglia a afirmação de que um corpo em movimento circular, uma vez solto, tomará a direção da tangente, considerando questões que lhe tinham sido colocadas. A obra, na sua maior parte, tratava de questões de engenharia e arte militar, mas abundavam também questões matemáticas.

“Quesiti et inventioni divers”

 

 

Detalhes sobre o livro. Em italiano:

http://it.wikisource.org/wiki/Quesiti_et_inventioni_diverse

Uma dessas questões conduzia a uma equação do 4ºgrau, precisamente aquela que viria a ser mais tarde resolvida por Ferrari. Histórica e tecnicamente importantes são as suas referências à resolução da equação cúbica. Por último figuram no “ Quesiti et inventioni divers” a sua disputa com Fior, algumas das questões que faziam parte dessa disputa, e o seu encontro com Cardano no qual Tartaglia supostamente lhe  entregou os “Tercetos “ com a solução da cúbica de sua autoria.

Do ponto de vista técnico deduz-se que para além dos resultados conseguidos com as regras que se encontravam, nos “Tercetos” deve-se a Tartaglia a redução de qualquer equação cúbica trigonométrica a uma das três a que se aplicavam as suas regras.

No entanto não havia referência nenhuma nos seus escritos ao caso irredutível, nem tão pouco ao caso geral da equação cúbica completa.

São tais questões que Tartaglia trata na sua obra “ la travagliota inventione” de 1551, assim como também os deveria ter tratado na sua obra máxima, o “ Tratado general de números y de medidas”, que foi publicado em 1556 , o qual é considerado o melhor trabalho sobre a aritmética escrita na Itália, em seu século. Dos seis volumes aparecidos, os últimos quatro são postulados e o último deles não foi relatado por Tartaglia, mas sim por um outro “doutor matemático” tendo por base os apontamentos de Tartaglia. Este tratado é uma obra enciclopédica do tipo da “Summa” de Pacioli. Os dois primeiros volumes referem-se à aritmética teórica e prática. A última parte do tratado refere-se à álgebra, mas infelizmente termina com as equações quadráticas sem entrar nas cúbicas.

Elaborou o "Tratado Geral dos Números e  Medidas" – já citado anteriormente- (1556-1560), que contém regras de aritmética, álgebra, geometria e física. Publicou “Travagliata inventione” (1551).

Para além destas obras e dos “Contracartelli” aparecidos devido à polêmica com Ferrari, deve-se a Tartaglia a primeira edição italiana dos “Elementos de Euclides” - uma anterior de Pacioli ter-se-ia perdido, assim como versões e edições de obras de Arquimedes e de Jordanus Nemorarius.

Síntese dos trabalhos publicados por Tartaglia:

"Scienza Nuova", lidando com artilharia (Veneza, 1537, tradução francesa por Rieffel, Paris, 1845-6), a primeira tradução para o italiano de obras de Euclides (Veneza, 1543), 
tradução da primeira versão latina de algumas das obras de Arquimedes (Veneza, 1543); 
"Quesiti ed Invenzioni Diverso", incluindo problemas de balística e de fortificação (Veneza, 1546, nova ed., 554);  
"Regola Generale per ogni sollevare affondata Nave, intitolata la Travagliata Invenzione" (Veneza, 1551, versão em Inglês publicado pela Salusbury, Londres, 1564); 
"Ragionamenti sopra la Travagliata Invenzione" (Veneza, 1551);  
"Trattato Generale di Numeri e Misure" (Veneza, 2 pts. em 1556, 4 pts. em 1560);  
"Trattato di aritmetica" (Veneza, 1556, tr francês. por Gosselin, Paris, 1578);  
"Opere del Famosissimo Nicolò Tartaglia" (Veneza, 1606), e uma tradução para o Inglês, por Lucar em 1588, de seus escritos balísticos. 
Uma carta de Tartaglia está nos arquivos de Urbino e outra carta e seu testamento estão nos arquivos de Veneza.

Observação a respeito da pronúncia do nome de Tartaglia:

 Tartaglia : Lê-se [ta'talya].

Algumas curiosidades a cerca da notação usada por Tartaglia.

Tartaglia usava os seguintes símbolos:

- Ao invés de escrever + escrevia p;

- Ao invés de - escrevia m;

Na época de Tartaglia, as letras p (piu) e m (meno) eram usadas na Itália para indicar a adição e a subtração.

- Para a incógnita usava a letra R;

- Ao invés do sinal = escrevia equale - ou seja, igual em latim-;

- Quando escrevia um número isolado, acrescentava a letra N para significar a unidade.

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REFERÊNCIAS:

http://www.matematica-na-veia.blogspot.com/2008/01/crolnologia-da-histria-da-matemtica.html
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/renascenca/tartaglia.htm
http://perso.wanadoo.es/frs88/
http://es.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia
http://www.answers.com/topic/niccolo-fontana-tartaglia
http://archimedes2.mpiwg-berlin.mpg.de/
http://en.wikisource.org/wiki/Main_Page
http://www.answers.com/topic/binomial-coefficient
http://www.cbi.umn.edu/
http://www.sbfisica.org.br/
http://www.history.navy.mil/library/special/pre1700.htm

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Prova do ENEM adiada por vazamento de informações

O Jornal “O Estado de São Paulo” denuncia o vazamento de informações da prova do Enem 2009, que seria realizada nos dias 3 e 4 de outubro, próximo final de semana.

O MEC - Ministério da Educação e Cultura – cancelou as provas, pois segundo a acessória de comunicação social do MEC, a decisão do adiamento da provas do ENEM, foram tomadas pelo ministro Fernando Haddad, assim que tomou conhecimento da denuncia feita pelo jornal “O Estado de São Paulo”.

Um homem procurou o jornal, e disse ter em mãos duas provas distintas que seriam aplicadas, sábado e domingo. Com o intuito de vender ao jornal as informações que tinha em suas mãos. Segundo o jornal, o homem pediu R$ 500 mil pela venda do material.

A expectativa do MEC é realizar uma nova prova em 45 dias.

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Binômio de Newton - Introdução

OS bastidores da história da matemática

- binômio de Newton - introdução

Para começar a falar sobre binômio de Newton, e posteriormente conhecer e aprender um pouco mais sobre as propriedades que envolvem este conceito, vamos primeiro conhecer um pouco da história de grandes matemáticos, que colaboraram nos estudos da análise combinatória..

 Todos sabem que, para ganhar a maioria dos jogos, é necessário sorte, porém podemos, por meio de um cálculo matemático simples usando análise combinatória, calcular as probabilidades de ganharmos fazendo determinadas jogadas, o que de certa forma, pode aumentar consideravelmente as chances de vencer o jogo. Um dos primeiros matemáticos a elaborar estudos sobre o número de combinações possíveis para um determinado fenômeno foi o italiano Niccolo Tartáglia (1500- 1557), que confeccionou uma tabela contendo o número de combinações possíveis no lançamento de dois dados. O desenvolvimento do binômio (1+x)ⁿ está entre os primeiros problemas estudados e ligados à Análise Combinatória. O caso n=2 já pode ser encontrado nos “Elementos de Euclides”, em torno de 300 a.C. O “Triângulo de Pascal” era conhecido por “Chu Shih-Chieh”, na China, (em torno do ano 1300) e antes disso pelos hindus e árabes. O matemático hindu Bháskara (1114-1185?), conhecido geralmente pela "fórmula de Bháskara" para a solução de equações do 2º grau, sabia calcular o número de permutações, de combinações e de arranjos de n objetos. O mesmo aconteceu com o matemático e filósofo religioso francês Levi ben Gerson (1288-1344), que nasceu e trabalhou no sul da França, e que entre outras coisas, tentou demonstrar o 5º Postulado de Euclides. O nome coeficiente binomial foi introduzido mais tarde por Michael Stifel -1486?-1567-, que mostrou, em torno de 1550, como calcular (1+x)ⁿ a partir do desenvolvimento de (1+x)^n-1. Sabemos também que o matemático árabe Al-Karaji - fins do século X - conhecia a lei de formação dos elementos do triângulo de Pascal. Ainda no século XVI, Girolamo Cardano (1501-1576) contribuiu com estudos sobre jogos de azar; além de dar elementos básicos ao cálculo de probabilidades, Cardano desenvolveu mais profundamente as técnicas de contagem de combinações.

Porém, somente no século XVII, foi que Blaise Pascal (1601-1665) e Pierre de Fermat (1601-1665) sistematizaram a análise combinatória.

A Fórmula do binômio de Newton.

A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x+y)ⁿ

     Desenvolvendo o binômio (x + y)ⁿ, n ∊ ℕ, encontramos: (x+y)ⁿ =

Toda potência da forma (x+y)ⁿ , com x,y ∊ ℜ e n ∊ ℕ, é conhecido como binômio de Newton. O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você já estudou no ensino fundamental.

Você aprendeu que:

a) (x+y)⁰ = 1                                                 -1 termo.

b) (x+y)¹ = 1x   + 1y                                    -2 termos.

c) (x+y)² = 1x²  + 2xy + 1y²                        -3 termos.

d) (x+y)³ = 1x³  + 3x²y+3xy² +1y³             -4 termos.

e) (x+y)⁴ = ?                                           

      .

      .

      .

Um dos processos para determinar (x+y)⁴  é efetuar o produto (x+y)³  (x+y) que você já conhece e sabe que muita “mão de obra”.

E se continuar aumentando o expoente do binômio. Como fica?

Em casos como (x+y)⁷ , (2x-y)⁵ , ( x+2)¹⁰  e tantos outros, vamos recorrer à análise combinatória.

Observe os exemplos:

-   
 O número de termos é dado pelo n+1 termos

-         O n é o valor do expoente do binômio

-         O expoente de x decresce de n até 0

-         O expoente de y cresce de 0 até n.

-         O desenvolvimento do binômio (x + y)ⁿ é um polinômio.

-         O desenvolvimento de (x + y)ⁿ possui (n + 1) termos.

-         Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (x + y)ⁿ são iguais.

-         A soma dos coeficientes de (x + y)ⁿ é igual a 2ⁿ.

Estas propriedades serão explicadas com mais detalhes nos próximos artigos.

Observação:

Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida. Vamos ver um exemplo para ficar mais claro:

Vamos tomar como exemplo, o item (d).

Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 3.

A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos com a seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de “x” pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo,para obter o coeficiente do3^⍜ termo do item (d), teríamos: 
3.2 = 6; agora dividimos 6 pela ordem do termo anterior 6:2 = 3 que é o coeficiente do 3^⍜ termo procurado.

Exemplos :

Vamos efetuar o desenvolvimento de :

Em análise combinatória você tem as seguintes conteúdos disponíveis:

Principio aditivo e multiplicativo , fatoriais , permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.

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REFERÊNCIAS:

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

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Softwares educativos - Aulas multimídia

Novos Softwares Educativos no mercado!

Os Softwares Educativos da SEI - Aulas Multimídia possuem uma nova e revolucionária metodologia educacional, que proporcionam ao professor, ao aluno e aos seus pais, uma moderna, eficiente e eficaz forma de ensino, aprendizagem e acompanhamento do conteúdo escolar.

Utilizando as mais modernas tecnologias de animação computacional, áudio e vídeo do mercado, os Softwares Educativos da SEI - Aulas Multimídia mostram de forma lúdica e alegre (através de Aulas Expositivas, Interativas e Jogos Educacionais) todo o conteúdo educacional, fazendo com que o aluno perceba o quanto é importante e agradável aprender coisas que antes tinha desinteresse e, em muita das vezes, dificuldade.

Todo o conteúdo das aulas multimídia existentes nos produtos da SEI, foram desenvolvidos por profissionais da educação extremamente capacitados e com vários anos de experiência, obedecendo aos Parâmetros Curriculares Nacionais estabelecidos pelo MEC.
Atualmente a SEI oferece os seguintes Softwares Educativos:


Tabuada – Jogos e Tabuada Cantada – a partir de 6 anos


Trânsito – Filmes e Jogos – a partir de 3 anos


Linguagem – Jardim 1 ao 1⁰ Ano – Educação infantil


Pesca Palavras – para todas as idades

Conheçam mais sobre esses Softwares acessando o link abaixo:
http://www.lojaintersis.com.br

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Análise combinatória - Exercícios de combinações simples II

Como eu havia prometido, esta, é mais uma bateria de exercícios de análise combinatória para treinar. Aproveite o fim de semana e faça alguns para ficar "fera" em análise. Não se esqueça, que, para você aprender qualquer conteúdo de matemática, tem que treinar muito. Quanto mais repetir os exercícios, mais fácil eles se tornarão, e vai chegar um momento, que você não terá nenhuma dificuldade para resolvê-los. é claro, que sempre terá outros mais difíceis, mas esta é a grande jogada! Temos que enfrentar dificuldades para crescer, e por que não começar encarando alguns exercícios de análise? Não se esqueça de deixar seu comentário e caso queira contribuir com algum artigo, pode entrar em contato comigo. Bom final de semana para todos, e até a próxima postagem!

 


Exercícios de combinações simples

  

1) Quantas equipes de 2 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?

A={a_1, a_{2 ,}  a_{3 ,} ... , a₂₀ }     Onde,  n=20 e p= 2

Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

Ou seja, podem ser formadas 190 equipes.

2) Quantas equipes de 3 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?

A={a_1, a_{2 ,}  a_{3 ,} ... , a₂₀ }     Onde,  n=20 e p= 3

Ou seja, podem ser formadas 1140 equipes.

3) Quantas equipes de 4 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?

A={a_1, a_{2 ,}  a_{3 ,} ... , a₂₀ }     Onde,  n=20 e p= 4

Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

 


 


Ou seja, podem ser formadas 4845 equipes.

4) Quantas equipes diferentes de vôlei podem ser escaladas, tendo à disposição 10 meninas que jogam em qualquer posição? 

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_10}     Onde, n=10 e p= 6, pois temos que uma equipe de vôlei é formada por 6 atletas.  Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

Ou seja, podem ser formadas 210 equipes de vôlei.

5) Quantas equipes diferentes de vôlei podem ser escaladas, tendo à disposição 15 meninas que jogam em qualquer posição? 

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_15}     Onde, n=15 e p= 6, pois temos que uma equipe de vôlei é formada por 6 atletas.  Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

Ou seja, podem ser formadas 5005 equipes de vôlei.

6) Numa prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 6.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 6 questões?

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_10}     Onde, n=10 e p= 6, Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

 

Ou seja, o aluno pode escolher as questões de 210 maneiras diferentes.

7) Numa prova de 7 questões, o aluno deve resolver apenas 5.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 5 questões?

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_7}     Onde, n=7 e p= 5, Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

 

 

Ou seja, o aluno pode escolher as questões de 21 maneiras diferentes.

8) Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas das quais, 6 são homens, e 4 são mulheres.

De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?

C_{6, 3 .} C_{4, 2}    Fazendo     
 
, e

  
 . Agora, multiplicamos os resultados.

C_{6, 3 .}C_{4, 2}  = 6.20 = 120  maneiras de formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres.

9) Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:

a) 3 bolas?

b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas?

c) 3 bolas vermelhas e 2 azuis?

a) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.

Logo temos n=9 e  p_bolas = 3 . Logo, para n=9 e p_bolas =3 temos:

  

 
maneiras diferentes.

 

b) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.

Logo temos n=9, p_azuis = 3 e p_vermelhas = 2. Logo, para n=9, p_azuis = 3 e p_vermelhas = 2 temos:

Das 5 bolas azuis arranjamos três a três, e das 4 bolas vermelhas arranjamos duas a duas. Então ao montar temos a seguinte multiplicação:

C_{5, 3  .} C_{4, 2  .} Fazendo

 
, e

Logo, multiplicando os resultados encontrados nas combinações acima, temos:

6.10=60 maneiras diferentes.

c) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.

Logo temos n=9, p_azuis = 2 e p_vermelhas = 3. Logo, para n=9, p_azuis = 2 e p_vermelhas = 3 temos:

Das 5 bolas azuis arranjamos duas a duas, e das 4 bolas vermelhas arranjamos três a três. Então ao montar temos a seguinte multiplicação:

C_{5, 2  .} C_{4, 3} . Fazendo

, e

Logo, multiplicando os resultados encontrados nas combinações acima, temos:

4.10=40 maneiras diferentes.

Mais exercícios e dicas em:

Apostila com exercícios e resolução completa . Para conferir os resultados, use o super software MathSys. Em análise combinatória você tem as seguintes conteúdos disponíveis:

Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.

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Referências:

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975
CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

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Detectando vírus em links suspeitos

Você pode estar estranhando o título deste artigo, mas como não se vive só de matemática resolvi criar este artigo e dar uma dica muito legal para identificar links com possíveis vírus.

A maioria dos internautas só vai perceber que estava infectado depois do estrago feito, e acredite, existem coisas piores do que suas senhas serem roubadas.

Os  Crackers  são indivíduos sem escrúpulos que tem o intuito de roubar dados dos internautas, e usam dos mais diversos meios para alcançar seus objetivos. Um artifício que está se disseminando sem muito controle na internet, principalmente através de Orkut, e-mail ou MSN, e até em sites e blogs, são os links com vírus. Os internautas muitas vezes, apenas por curiosidade, clicam nestes links e não percebem a verdadeira intensão que se esconde por trás de singelas apresentações, notícias, e outros artifícios. Pensando nestes internautas, resolvi dar uma dica que pode ajudar a evitar futuras dores de cabeça.

“Navegar é preciso”, mas temos que nos preparar para isto! E uma forma segura de fazer isto, é identificando links maudosos, e para não cair nestas armadilhas podemos usar o Firefox com a extensão  Dr.Web . Outra alternativa é o site AjudaNet. Que têm algumas dicas legais sobre este tema.

Não vou colocar tutorial aqui por que a instalação do DrWeb é simples. É só clicar no link, ir até o site de complementos para o Firefox e baixar.

Aproveitem o embalo e façam algumas pesquisas na internet sobre este tema. Depois de pegar o “bicho”, não adianta chorar. Então perca 5,10 minutos por dia pesquisando algo sobre este tema para ficar por dentro dos novos artifícios dos Crackers .

Ninguém quer ser infectado, muito menos por um “bicho” que pode prejudicar você e milhares de pessoas. Cuide-se!

Como não sou profissional da área não vou me estender muito, então ficamos por aqui e aproveito para deixar um abraço aos amigos internautas, e aos mais de 550 assinantes do blog.

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Um grande abraço a todos os assinantes. Obrigado, e até o próximo artigo.


Referências:
http://www.ajudanet.com/

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Fazendo contas de dividir com peças de xadrez

                                      Peões no lugar de números.

 

Somente após o exposto, é fácil compreender que os números podem ser representados, não só com a ajuda de figuras, mas também com outros símbolos mais sofisticados, e até mesmo com itens bastante freqüentes em nosso cotidiano, tais como: lápis, canetas, réguas, borrachas, palitos, pedras, tampinhas de refrigerantes, etc. Basta atribuir a cada objeto qualquer valor que queremos.

Podemos até mesmo por curiosidade, utilizarmos estes objetos como números, e representar as operações mais simples de: somar, subtrair, multiplicar e dividir.

Na figura 1, você pode ver a representação de um problema publicado por uma revista de xadrez, onde quase todos os números são substituídos por peões.

Figura 1.

Nesta revista, foi apresentado o seguinte problema: Determinar o verdadeiro significado da divisão, mostrada na figura 1, onde, quase todos os números são substituídos por peões (peças de xadrez). Dos 28 números envolvidos, apenas 2 são conhecidos: o número 8, que é um dos valores do quociente, e o 1 que é o resto do desenvolvimento da divisão. Os outros 26 são símbolos que representam os peões do jogo de xadrez, de modo que, provavelmente vai parecer que o problema não faz muito sentido. No entanto, iremos aprender uma maneira de solucionar este problema, embasados no processo de divisão de inteiros.
O segundo símbolo do quociente representa naturalmente o número zero, já que ao resto da primeira subtração, foi acrescentada, não uma figura, mas duas. Veja que, após a primeira subtração, foi acrescentado um valor, depois de adicionar este primeiro número, temos um valor menor do que o divisor, portanto temos que adicionar outro valor (figura do peão) ficando com duas figuras. Usando exatamente o mesmo argumento (processo), podemos afirmar que o valor do quarto dígito também é zero.

Agora, fixando nossa atenção sobre a disposição das figuras representadas por peões, observamos que o divisor de dois números, quando multiplicado por 8 retorna um número de dois dígitos, quando multiplicada pela primeira figura (ainda desconhecida), você observa um número de três dígitos. Ou seja, o primeiro dígito do quociente é superior a 8, e é óbvio que este número só pode ser o número 9. 

Ainda pelo mesmo método, podemos estabelecer que, o último valor do quociente também é 9. 

Agora já temos todos os números que fazem parte do quociente. Ou seja, 90 809, - Que por coincidência é um número Capícua - O próximo passo é descobrir o valor do divisor. 

Como podemos observar na Figura 1, o divisor consiste de duas figuras, ou dois peões, além disso, a disposição dos peões indica que este número é formado por dois dígitos, que, ao ser multiplicado por 8, retorna um número de dois dígitos, e o resultado de multiplicá-lo por nove, retorna uma número de três dígitos. Qual é esse número? Realizaremos alguns testes para encontrar o menor número de dois dígitos que satisfaça nossas condições. Então para 10 temos: 

10 * 8 = 80.

10 * 9 = 90. 

Podemos ver que, o número 10 não satisfaz as condições: Ambos os produtos são de dois números com dois dígitos cada. Vamos testar o próximo número que é 11:

11 * 8 = 88
11 * 9 = 99 

O número 11 também não serve, pois assim como o 10, o 11 multiplicado por 8, ou 9 retorna um valor com dois dígitos. E este resultado não satisfaz nossas condições. Agora vamos tentar com o próximo valor que é o número12: 

12 * 8 = 96
12 * 9 = 108 

O número 12 reúne todas as condições. 

1º - 12 * 8 = 96  , pois retorna um valor com dois dígitos.

2º - 12 * 9 = 108 , pois retorna um valor com dois dígitos.

Parece que encontramos nosso valor. Mas haverá outros números que também satisfazem tais condições? Vamos tentar o número 13: 

13 * 8 = 104
13 * 9 = 117 

Ambos os produtos são de três números de dois dígitos, de forma que o 13 não funciona, ou seja, não satisfaz ambas as condições. É óbvio  que nem um número maior do que 13 servirá, pois todos retornarão valores com três dígitos. 

Assim, o único divisor possível é o número 12. Sabendo o divisor, o quociente e o resto, podemos facilmente encontrar o dividendo, revertendo o processo de divisão. Assim, o dividendo. 

90 809 * 12 + 1 = 1 089 709 90 809 * 12 + 1 = 1 089 709

Finalmente conseguimos desvendar o mistério. Veja o desenvolvimento abaixo da divisão com resto: 

Figura 2.

Como podemos ver, tínhamos apenas duas figuras conhecidas, e o problema pedia para encontrarmos o valor dos outros 26 números desconhecidos.

O que posso dizer para terminar? Xeque-mate!  

Figura 3.

E aí! Gostou, e ainda ficou com aquela vontade de resolver um destes desafios? Pois vou deixar um bem interessante, para os que gostam de queimar neurônios desvendando enigmas que envolvem a lógica matemática.

Figura 4.

Quais os números que correspondem a estas figuras?Mostre que você é um bom jogador. 

O problema está montado conforme o sistema decimal de numeração. Pô! Agora ficou fácil com esta super dica. 

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Um grande abraço a todos os assinantes. Obrigado, e até o próximo artigo.

Referências:
Yakov I. Perelman - Aritmetica Recreativa. Tradução para o português.

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Análise combinatória - Exercícios de combinações simples

 Exercícios resolvidos de combinações simples

1 – Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.

Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (m_i): 


Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m₃,m₇,m₆,m₉) e (m₇,m₃,m₆,m₉)

A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por P₄ = 4!=24.

Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024:24=126.

2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.




3. Resolver a equação C_{x, 2} = 3.

Logo V = {3}

4. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?

Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos:


escolhas do levantador.




escolhas dos 5 atacantes.



Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.

5. Durante o jogo, 2 atacantes e o levantador foram substituídos. De quantas formas isso poderia ser feito?

Dos jogadores que não estavam na quadra, 1 era levantador e 5 eram atacantes. Assim, só há uma forma de substituir o levantador e C_{5, 2} formas de substituir os dois atacantes. Logo, as substituições poderiam ter sido feitas de:

formas diferentes.


6. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?



comissões.

7. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?


modos.


8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

  saladas

9. De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?

A questão é a mesma que perguntar quantos subconjuntos de dois elementos possui um conjunto com 30 elementos. A resposta é


10. Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher

4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota dentre os escolhidos?

Se dentre os 4 membros escolhidos há uma garota, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 1} maneiras distintas. Se dentre os 4 membros escolhidos há duas garotas, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 2} maneiras distintas. Portanto, o número pedido é


Ou seja. C_{7, 2} . C_{2, 1} + C_{7, 2} . C_{2, 2} = 91

11. De quantas maneiras podemos dividir 10 rapazes em dois grupos de cinco?

O primeiro grupo pode ser escolhido de C_{10, 5} modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram 5 pessoas e só há uma maneira de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C_{10, 5} . 1

Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo, a divisão dos rapazes nos dois grupos {a, b, c, d, e} e {f, g, h, i, j} é idêntica a divisão nos grupos: {f, g, h, i, j} e {a, b, c,d, e}, e foi contada como se fossem distintas. Portanto, a resposta é:



Apostila com exercícios e resolução completa . Para conferir os resultados, use o super software MathSys. Em análise combinatória você tem as seguintes conteúdos disponíveis:
Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.
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Referências:


BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975


CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998


CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.
Fontes:

http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/
Sociedade Brasileira de Matemática. 1991

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Um matemático e uma loira gaúcha.

Acredito que todo matemático tenha o seu dia de glória, mas como nem tudo são flores, às vezes podem ocorrer situações que fogem ao nosso controle. Pensando nisso, resolvi homenagear as loiras (sou casado com uma), que são rotuladas como “pouco inteligentes” pelos piadistas de plantão. E nada melhor do que ser matemático e casado com uma loira gaúcha, para contar uma piada destas.

Para o deleite das loiras deixo a piada da “loira e do matemático”, ou vice-versa.

Uma loira gaúcha (de nome Gisele) e um matemático ( hehe! Pode ser gaúcho também.)estão sentados lado a lado num vôo de São Paulo para Belém. O matemático pergunta se ela não quer participar de um joguinho interessante.
A loira, muito cansada, diz que só quer dar um cochilo, agradece educadamente e se vira para a janela na intenção de tirar uma soneca. O matemático insiste e diz que o joguinho é fácil e muito divertido. Ele explica:
- Eu faço uma pergunta e, se você não souber a resposta, me paga R$ 5,00; e vice-versa.
Novamente ela reclina a cabeça e tenta dormir um pouquinho. Mas, o chato insiste:
- Se você não souber a resposta me paga R$ 5,00 e se eu não souber a resposta, te pago R$ 500,00.
Isso chamou a atenção da loira, que, pensando que esse tormento não terminaria enquanto ela não participasse da brincadeira, decidiu concordar. O matemático fez a 1ª pergunta:
- Qual a distância exata entre a terra e a lua?
A loira não disse uma palavra, abriu a bolsa, pegou uma nota de R$ 5,00 e entregou ao matemático.
- Ok! É a sua vez - disse ele, sorridente.
A loira então pergunta:
- O que é que sobe a montanha com três pernas e desce com quatro pernas?
O matemático, desconcertado, pega o seu laptop e pesquisa todas as referências sem obter nenhuma resposta. Pega o telefone do avião e conecta em seu modem, procura em todos os bancos de dados e bibliotecas possíveis, sem obter nenhuma resposta. Frustrado, manda e-mail para todos os seus amigos e colegas de trabalho/profissão, sem nenhum sucesso. Após uma hora de pesquisa, ele pega os R$ 500,00 e entrega a loira, ela agradece e se vira para o lado para uma soneca.
O matemático, muito mal-humorado, cutuca a loira e pergunta:
- Muito bem, qual é a resposta?
Sem dizer uma palavra, a loira abre a bolsa, entrega mais R$ 5,00 ao matemático e volta a dormir.
A piada foi adaptada um pouquinho.

Moral da estória.
“O primeiro dever da inteligência é desconfiar dela mesma.” Albert Einstein.

Esta também é para os prepotentes, que se julgam senhores da palavra e da escrita.
Nada melhor do que, antes de se julgar mais culto que seus semelhantes, você pensar um pouco, ou seja, desconfiar da própria inteligência.

Não sei o autor desta piada, se alguém por acaso souber, passe os dados do autor e livro, que posto aqui.

Fonte adaptada:
http://www.ubaweb.com/

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MathSys - Um super software matemático

Procurando um programa (software) bom, que ajude você a resolver todos os seus exercícios? Pois encontrou!

MATHSYS, é um software matemático feito com o Borland Delphi 6. E envolve as seguintes áreas matemáticas: Frações, matrizes, matemática financeira, estatística, geometria analítica, probabilidade, análise combinatória e binômio de Newton.

Um excelente software para auxiliar o estudante naquelas horas em que está com dúvida em relação ao desenvolvimento de um exercício.

Os cálculos são simples e rápidos. Fácil de manipular, é grátis, e totalmente em português. Um canivete suíço, que não pode deixar de estar presente entre as ferramentas de uso de qualquer estudante, seja universitário ou não.

Em matrizes você pode fazer multiplicações por um escalar, determinantes, matrizes inversas, matrizes transpostas, e matriz linha equivalente na forma escalonada.

Além disso, você ainda poderá salvar seu arquivo para usar posteriormente.

Em análise combinatória você tem as seguintes ferramentas disponíveis:

Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples. Tudo calculado de forma rápida e simples. Um software muito prático e acessível.

Sem a necessidade de instalações. É só descompactar e seguir usando o seu programa.

Veja abaixo, a lista de serviços que o programa oferece.

Com este programa, você poderá :

• somar frações;
• subtrair frações;
• multiplicar frações;
• dividir frações;
• simplificar uma fração à sua forma irredutível;
• somar matrizes;
• subtrair matrizes;
• multiplicar matrizes;
• multiplicar uma matriz por um escalar;
• calcular a transposta de uma matriz;
• calcular o determinante de uma matriz;
• reduzir uma matriz à sua linha-equivalente na forma escada;
• calcular a inversa de uma matriz quadrada;
• calcular o capital (juro simples);
• calcular a taxa de juro simples;
• calcular o tempo (juro simples);
• calcular o juro simples;
• calcular o montante simples;
• calcular o capital (juro composto);
• calcular a taxa de juro composto;
• calcular o tempo (juro composto);
• calcular o juro composto;
• calcular o montante composto;
• calcular a média aritmética em dados absolutos;
• calcular a média aritmética numa tabela de contingência;
• calcular a média aritmética em classes intervalares;
• calcular a mediana em dados absolutos;
• calcular a mediana numa tabela de contingência;
• calcular a mediana em classes intervalares;
• calcular a moda em dados absolutos;
• calcular a moda numa tabela de contingência;
• calcular a moda em classes intervalares;
• calcular a variância em dados absolutos;
• calcular a variância numa tabela de contingência;
• calcular a variância em classes intervalares;
• calcular o desvio padrão em dados absolutos;
• calcular o desvio padrão numa tabela de contingência;
• calcular o desvio padrão em classes intervalares;
• calcular o coeficiente de correlação linear numa tabela de contingência;
• determinar a equação da reta de regressão linear;
• calcular o valor médio esperado (esperança) numa distribuição de probabilidades;
• calcular a variância numa distribuição de probabilidades;
• calcular o desvio padrão numa distribuição de probabilidades;
• calcular a probabilidade numa distribuição binomial;
• calcular permutação simples;
• calcular permutação com elementos repetidos;
• calcular arranjo simples;
• calcular combinação simples;
• desenvolver a potência da forma (x + a)n, sendo x uma incógnita qualquer, a um número racional e n um número natural;
• calcular a distância entre dois pontos do plano OXY;
• calcular a área de um triângulo no plano OXY.

Ainda tem ajuda (help) em português.

MATHSYS – Software matemático

Bem-vindo ao MATHSYS – Software matemático!

No formulário principal estão as imagens que dão acesso aos módulos do sistema. Eles também podem ser acessados através de teclas de atalho: F2 para Frações, F3 para Matrizes. F5 para Matemática financeira. F6 para Estatística, F7 para Probabilidade, F8 para Análise combinatória. F9 para Binômio de Newton, e F11 para Geometria analítica.

Todos os formulários também podem ser fechados através da tecla de atalho ESC.

Ufa! Já deu para entender que, este é um software que não pode faltar no seu computador. Fácil, grátis, em português e resolve diversos problemas em áreas da matemática que são muitas vezes difíceis de trabalhar, por exigirem muitos cálculos.

Então, este programa vai auxiliar você nas tarefas escolares. Comece a usar hoje mesmo, e treine bastante para a próxima prova.

Faça o Download do software MathSys

Confira outros softwares disponíveis no blog :

• softwares (36) ►

Dados do desenvolvedor:

Site : http://br.geocities.com/cobraxms/

Nome : Ricardo Sampaio

Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

Observação:
- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.
- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo .

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Análise combinatória - Combinação simples

E aí! Já treinou bastante os outros conteúdos do blog? Já sabe desenvolver fatoriais, permutações e arranjos, e agora está fera. Quer aprender mais ainda?

Então vamos aprender mais um conteúdo legal de análise combinatória.
Caso surgir alguma dúvida navegue pela aba

• Análise combinatória  ►

Combinação simples.

Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

É importante observar que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Representando por C_n,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p , temos a seguinte fórmula:

 

“Combinação simples de n elementos tomados p a p ( ) são subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados”.

Vamos relembrar alguns conceitos de arranjos.

Vamos passear um pouco por arranjos, e depois vamos seguir no mesmo exemplo trabalhando com combinação.

Vejamos um exemplo clássico.

1)      Vamos considerar o conjunto A = {1,2,3,4,5}

Agora vamos formar todos os arranjos possíveis de 2 elementos distintos do conjunto A.

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)

(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4)

Porque (1,2) ≠ (2,1) ; (1,3) ≠ (3,1) , etc.

Note que usamos ( ) para denotar arranjos, pois são pares ordenados, o que implica em elementos distintos em cada agrupamento.

A simples mudança de ordem gera um novo par ordenado.

Então, utilizando a fórmula geral para arranjos simples. Onde

n= 5 (número total de elementos do conjunto A)

p= 2 (número de elementos tomados p a p – tomamos 2 elementos de cada vez para fazer os agrupamentos)

    

Observe que trabalhamos com 2 elementos tomados p a p, do conjunto com o total de n=5 elementos. Ou seja, fizemos arranjos de 2 a 2 com os 5 números do conjunto A.

Mas, e se quisermos saber, quantos subconjuntos de 2 elementos, podem ser formados por estes arranjos. Como proceder? Agora a conversa muda um pouco! Vamos ver como fica.

Os subconjuntos de 2 elementos que podemos formar são:

{1,2}, {1,3}, {1,4} ,{1,5} ,{2,3} ,{2,4} ,{2,5} ,{3,4}, {3,5}, {4,5}

Desta forma temos:
, porque {1,2}={2,1} ;  {1,3} = {3,1} , etc.

Note que usamos {} para denotar combinações, pois são subconjuntos, e a ordem dos elementos num subconjunto não se altera.

E com 3 elementos como fica? O número de arranjos será:  

Temos: 

E o número de subconjuntos será:  

Já deu para perceber que:            

 

 

Vamos ver agora alguns exemplos mais elaborados.

Exercícios resolvidos de combinações simples.

1)      Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões?

Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes.

Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante, uma vez que, ao resolver a  1ª , a 2ª e a 3ª questão é o mesmo que resolver a 2ª , a 3º e a 1ª, portanto é um problema de combinação.

Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.

 Observe que, se quiséssemos apenas fazer os arranjos destes elementos 3 a 3, teríamos:

Faça você os arranjos, e depois verifique como foi feito nos exemplos anteriores, que esta afirmação é verdadeira.

2) De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Mosqueiro.

Suponha que Amiroaldo escolha as camisas 1, 2, 3 e 4.

                      Amiroaldo escolhendo as camisas:

                 Fonte camisa: http://www.portalimpacto.com.br/

Veja que (1, 2, 3, 4) = (1, 3, 4, 2), pois não importa em que ordem Amiroaldo escolhe as camisas que vai levar, o importante é que as camisas escolhidas são as mesmas na primeira e na segunda situação. Problemas como esses são resolvidos com a idéia de Combinação simples.

 Existem 126 maneiras diferentes para Amiroaldo escolher 4 camisetas das 9 que possui.

Se fosse calculado o número de arranjos destas camisetas tomadas 4 a 4, teríamos 3024 arranjos.

Faça você os arranjos, e depois verifique como foi feito nos exemplos anteriores, que esta afirmação é verdadeira. (Brincadeira! Para você verificar a veracidade desta afirmação, vou dar uma dica de um software legal para você conferir as respostas dos exercícios propostos -  Baixar software -:).

É só baixar e descompactar em uma pasta de sua preferência.
Observação: 

- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.

- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo . 
 

3)  Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?

Representamos cada pessoa por uma letra

A: Ane;

E: Elisa;

R: Rosana;

F: Felipe;

G: Gustavo.

Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A,E,R,F,G}. A ordem em que os elementos aparecem nos subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane.

Então, os subconjuntos  de 2 elementos são?

{A,E},{A,R},{A,F},{A,G},{E,R}{E,F},{E,G},{R,F},{R,G}{F,G}.

Chamamos estes subconjuntos de combinação simples de 5 elementos tomados com 2 a 2. Escrevemos C_5,2 .

Onde C_{5, 2}   representa a fórmula das combinações simples:

Substituindo na fórmula

Preste atenção nesta próxima propriedade das combinações.

Propriedade importante das combinações:

De modo geral temos que:

C_{n, p} = C_{n, n-p}

Confirme esta propriedade utilizando o software Mathsys.
Observação:  Siga os mesmos conselhos dados na observação anterior

Existem notações diferentes para combinações simples. Vamos usar uma em particular, pois será muito importante nos familiarizar-mos com ela.

Veja que:

Veja que, a frase “Vários caminhos levam a Roma” , se encaixa bem nesta parte do texto, pois.

 

Vamos ver alguns exemplos.

Exercícios resolvidos – Número binomial de ordem n e classe p.

1º - Vamos calcular o valor de:

5º - No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas(são excluídas as cartas 8, 9 , 10).

De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas

As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas, e não pela ordem. Como a ordem não importa, calculamos?

Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9880 maneiras diferentes.

Faça estes exercícios com as outras notações. Lembre que, matemática só se aprende praticando muito.

Por enquanto é isso. Ficamos por aqui, mas em breve serão disponibilizados exercícios e mais alguns conceitos e curiosidades sobre este conteúdo.

• Análise combinatória  ►

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MATEMÁTICA NA VEIA - ANÁLISE COMBINATÓRIA - COMBINAÇÕES SIMPLES

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VII) BIBLIOGRAFIA:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.

DANTE,P.J. & HERSH, R. A experiência matemática, Rio de Janeiro, Francisco Alves, Ática, 1997.

BEZERRA, Manoel Filho. Matemática para o ensino médio, Volume único, Manoel Jairo Bezerra. São Paulo, Scipione (Série parâmetros). 2004, 5º Edição.
Matemática - vol 3, 2º grau aula 52. TIZZIOTTI,

Adaptações e imagem - camisa
http://www.portalimpacto.com.br/

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MECDAISY - Los ojos de Dios

Uma janela para os livros.

OLHO DE HÓRUS, símbolo de proteção e de clarividência.

Software permite que cegos possam ter o prazer da leitura.

Em época de Web 2.0 e boatos de que o nosso tão conhecido Google irá colocar nossos dados literalmente nas nuvens, apresento para os leitores do blog, o software MECDAISY.
Bem que este software poderia se chamar HORUS - O OLHO QUE TUDO VÊ. Nada mais adequado para um software que traz liberdade de leitura para os deficientes visuais. Mas como os criadores resolveram fazer uma homenagem ao padrão conhecido como DAISY 3, vamos respeitar a escolha.

Com ajuda de novas tecnologias, os deficientes visuais redescobrem o prazer da leitura. Um conjunto de programas, batizado de MECDAISY, permite transformar qualquer formato de texto disponível no computador em texto digital falado.

A tecnologia permite que o usuário leia qualquer texto, a partir de narração ou adaptação em caracteres ampliados, além de oferecer opção de impressão em braile. O programa ainda descreve figuras, gráficos e imagens. Já apelidado de livro eletrônico, permite navegar pelo índice, pelo texto, pelas páginas, como se estivesse folheando uma obra de papel. Com o acesso ao MECDAISY, qualquer pessoa com o mínimo de
conhecimento em computação pode produzir livros digitais falados e ler as obras com mais autonomia.

Além do áudio, o software oferece a opção de impressão do material em braille. Mas o diferencial são recursos de navegabilidade que permitem anotações e marcações de texto a partir de movimentos de teclas de atalhos ou do mouse. É possível também mudar de página.

Desenvolvido em parceria com a Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), o MECDAISY foi lançado em 24 de junho e ainda passará por adaptações. Baseado no padrão internacional Daisy – Digital Accessible Information System, que significa Sistema de Informação de Acesso Digital –, traz sintetizador de
voz  e instruções em português.

Gostou da novidade? Agora é com você! Divulgue este software com seus colegas, professores, amigos. Faça a sua parte. Não deixe para depois, faça agora.

Endereços para baixar o software.


- O MecDaisy é um software livre que pode ser baixado de graça do site
www.intervox.nce.ufrj.br/mecdaisy e também no portal do Ministério da Educação.

Livro digital

Um livro digital falado é um conjunto de arquivos eletrônicos preparados para apresentar a informação ao público-alvo por meio de meios alternativos, isto é, voz humana ou sintetizada, terminal braile ou de tipos/fontes ampliados. Quando estes arquivos são criados e compilados como DTB em conformidade com determinados padrões, tornam possível uma ampla variedade de funcionalidades. Estas habilitam os leitores com deficiência visual, de mobilidade ou cognitiva, a ler/manusear impressos, a acessar a informação de maneira flexível e eficiente, facilitando, por exemplo, que os usuários possam manusear a informação por meio de múltiplos sentidos (visão, audição).

A importância do padrão ANSI/NISOZ39.86:2002, também conhecido como DAISY 3, deve-se ao fato deste padrão ser a referência para implementações cada vez mais comuns, de produção, troca ou uso de DTB, entre países com tradição de acessibilidade. A criação deste padrão foi impulsionada pelo Consórcio DAISY (Digital Accessible Information SYstem), lançado em 1996, na Suécia, por diversas bibliotecas internacionais de livros falados e em braile, que se outorgaram a missão de conduzir, mundialmente, o processo de criação e transição dos livros falados do meio analógico para o digital, em formatos acessíveis (Paraguay, Spelta e Simofusa, 2005).

Observação: Como deu um problema com a minha placa de son, não consegui instalar este software, mas assim que for possível vou testá-lo e fazer um tutorial legal para disponibilizar aqui no blog)

Referências:

O  OLHO DE HÓRUS - http://www.olhosdebastet.com.br/

Textos adaptados:

http://www.daisy.org/

http://www.intervox.nce.ufrj.br/mecdaisy/

http://www.clicrbs.com.br/especial/rs/tecnologia/

http://www.jornalistasdaweb.com.br/

http://www.fsp.usp.br/acessibilidade/cd2005/conteudo/ATIID2005/MR3/04/

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Oração para a prova de matemática

ORAÇÃO MATEMÁTICA

Para o aluno que nunca perde a fé, mesmo naquelas horas difíceis, - quase impossíveis- acredita que uma oração antes da prova de matemática pode ajudar, vou deixar duas bem legais que encontrei no site do thiago, e que têm tudo a ver com a nossa disciplina.


Esta eu gostei mais, pois é uma verdadeira oração do aluno que está na situação descrita acima.

" Mestre matemático que estais na sala,

Santificada seja a Vossa prova,

Seja de Álgebra ou de Geometria,

O zero de cada dia não nos dai hoje,

Perdoai as nossas bagunças,

Assim como perdoamos os Vossos Teoremas,

Não nos deixeis cair em recuperação,

Mas nos livrai da reprovação,

Amém."

Esta é para quem está desesperado!

" Ave matemático cheio de malícias,

O temor esteja convosco,

Bendita seja a prova de vossa cabeça,

Socorro !!!

Santa cola, mãe do aluno,

Rogai por nós agora

E no choro da má sorte,

Amém."                            

            Referências:

http://jj-tiago.zip.net/

Autores : jarbas,josiane,thiago.

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Estrela dos anos 90 com os dias contados

 Geocities vai sair de cena:

 É uma lástima! Mas o serviço de hospedagem de conteúdo gratuito Geocities sairá do ar.
"Comprado pelo Yahoo há 10 anos por US$ 4 bilhões, o fechamento do Geocities evidencia tanto as instabilidades que cercam a marca Yahoo nesses tempos de crise como a dificuldade de sustentar um serviço gratuito de hospedagem"  hoje em dia Para quem ainda não sabe, esta foi  uma das maiores perdas dos últimos anos no mundo virtual.

Acredito que muitos vão correr para salvar suas páginas, e já posso até prever, que 90% ou mais dos sites que estão hospedados no geocities serão perdidos.

Se eu pudesse salvaria todos os arquivos que fossem relacionados à matemática, mas isto é um trabalho impossível de ser realizado por apenas uma pessoa. Pensando nisto, resolvi fazer um apelo aos usuários que têm sites relacionados a disciplina de matemática, e que queiram dar continuidade aos seus trabalhos.
Provavelmente os que ainda forem continuar seus trabalhos, virão para o blogspot, WP, e outras plataformas. Mas caso alguém se interessar pela minha idéia, envie para o meu endereço de e-mail os arquivos mais importantes, e eu terei o prazer de colocar aqui no blog, comentando e dando os devidos créditos para o autor.

Bom! Não sei se esta idéia é a melhor opção, nem sei se dará algum resultado, mas foi o que me ocorreu.Vamos esperar para ver até onde isto vai influenciar os usuários do Yahoo.
Se salvarmos uma página das milhares que existem lá, já é uma grande coisa.








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